曲面得第二基本形式曲面的第二基本形式二、曲面的第二基本形式给定类的曲面S：曲线（c）：u=u(s),v=v(s)或是曲面上过P的一曲线，为P邻近一点，它们的向径分别为2C.,),(),(SPGvuvurr)()(),(srsvsurrP)(),(ssrsr.0lim,)(21)()(02ssrsrsrssrPP设为曲面在P点的单位法向量，由作切平面的垂足为Q，为从切平面到曲面S的有向距离，则。所以有nPnPQ2)(21)()()(snrnnsrssrnPPnPPQPnPQ当时，的主要部分是0rn2221)(21dsrnsrn由于vrurrvuvrurvrvururrvuvvuvuu222所以2222dvrndudvrndurndsrnvvuvuu22222NdvMdudvLdurdndsrn它称为曲面的第二基本形式,它的L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负。三、第二类基本量的计算2),(FEGrrrrrrrrnrLvuuuvuvuuuuu,),(2FEGrrrnrMvuuvuv2),(FEGrrrnrNvuvvvv对进行微分得0rdnrdndrdnrdnrdnd22,0微分有所以在切平面上又,0,0,nrnrrrvuvu0uuuunrnr0vuuvnrnr0uvvunrnr0vvvvnrnruuuunrnrLuvvuuvnrnrnrMvvvvnrnrN对于显函数z=z(x,y)表示的曲面有),(,yxzyxr,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1tzrsrzzrrzrqzrpzryyyyyxyxxyxyxxxxyyxx2222)1(2)1(dyqpqdxdy邓小平)2(112222tdysdxdyrd新疆p例题2曲面上曲线的曲率曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---我们可以用曲面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线）来求得，这条曲线就是法截线。一、法截面与法截线给定类的曲面S：（c）：u=u(s),v=v(s)或是曲面上过P的一曲线，曲线在P的切向量与主法向量为则2C.,),(),(SPGvuvurr)()(),(srsvsurr,rn设P点的法向量与主法向量的夹角为，则nnncos所以cosnnr2222dsrdndsrdnnr但定义：给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dv，于是方向(d)和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的法截面，这个法截面与曲面S的交线称为曲面S在P点沿方向(d)法截线。222222cosGdvFdudvEduNdvMdudvLdu)1(二、法曲率设方向（d）所确定的法截线为(c0)，它在P点的曲率为k0，对于(c0)，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量为s在P点的法向量或它的反向量，即，所以由公式（1）得0n0或000,cos即)2(其中和的方向相同时取正号，此时（c0）往的正侧弯曲，取负号，反向弯曲。nn0定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为。nnn的反向弯曲法截曲向的正向弯曲法截线向,,00222222GdvFdudvEduNdvMdudvLdun)3(注意：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的s上的曲线（c）的方向，为了求(c)的曲率，只要（c）与（c0）在P点相切就行了，因为它们此时的切方向相同了。所以设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于P点，则它们有相同的切方向（d）=du:dv，则（1）和（3）得利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。cosn三、梅尼埃定理设R=1/k，即R为曲线（c)的曲率半径，Rn=1/kn，称R为曲线（c0)的曲率半径，也称为法曲率半径。则公式，可写为cosncosnRR梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。四、一个例，球面。由于R在---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上，Rn在（C0），（C0）故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法曲率中心C0，因此几何意义可叙述成：3.3杜邦指标线一、杜邦指标线现在考虑通过曲面上一点的所有法截线的法曲率之间的关系.为方便，取P点为坐标原点，坐标曲线在P点的切...