高三数学百所名校好题分项题目解析汇编之全国通用版(2021版)专题10立体几何一．选择题1．（2020秋•江北区校级期中）如图：正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，侧棱AB＝2，BD平行于过点C的截面CB1D1，则截面CB1D1与正三棱锥A﹣BCD侧面交线的周长的最小值为（）A．2B．2C．4D．2【参考答案】D【解答】解：把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开，两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值．正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，所以AC⊥AC′，AB＝2，∴CC′＝2，∴截面周长最小值是CC′＝2．故选：D．2.（2021•宁夏模拟）在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【参考答案】D【解答】解：（1）对于A，D选项，取E，F分别为AB，CD的中点如图：因为A﹣BCD是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE＝DE，所以EF⊥CD，同理可证EF⊥AB．故A错误；又因为AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，故AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面CED．故D正确．（2）对于B选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当E在AB上移动时，∠CDE的最小值为直线CD与平面ABD所成的角，即（1）中的∠CDE，显然为锐角，最大角为∠CDB＝∠CDA＝60°，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD．故B错误．（3）对于C选项，将D看成顶点，则由D向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC的中心，不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C错误．故选：D．3．（2020秋•天津期中）将一个棱长为1cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A．B．πcm2C．D．3πcm2【参考答案】B【解答】解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为1cm，半径为cm．∴可能制作的最大零件的表面积为4π×（）2＝π（cm2）．故选：B．4．（2020秋•湖南期中）已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝1，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．3πD．【参考答案】C【解答】解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到正方体中，AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝1，可得长方体的对角线为＝．∴球O的半径R＝．球O的表面积S＝4πR2＝3π．故选：C．5．（2020秋•镇江期中）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝4，则该球的表面积为（）A．40πB．32πC．10πD．8π【参考答案】A【解答】解： 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝4，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线＝2，即为球的直径，∴球的半径为，∴球的表面积为4π×（）2＝40π，故选：A．7．（2020秋•宁波期中）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．【参考答案】C【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是一个圆锥，去掉部分的剩余几何体与一个三棱锥的几何体；几何体的体积为：+＝．故选：C．8．（2020秋•包河区校级月考）已知三棱锥P﹣ABC的顶点P在底面的射影O为ΔABC的垂心，若，且三棱锥P﹣ABC的外接球半径为3，则SΔPAB+SΔPBC+SΔPAC的最大值为（）A．8B．10C．18D．22【参考答案】C【解答】解：如图，连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，∴AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC， AD∩PO＝O，∴BC⊥面ADP，可得BC⊥PA，BC⊥PD．同理AC⊥PB，AB⊥PC．由，可得AD•OD＝PD2，且∠PDO＝∠PDA，∴△POD∽△APD，∴∠APD＝∠POD＝90°，∴PA⊥PD，又PA⊥BC，BC∩PD＝D，∴AP⊥面PBC，得PA⊥PB，又PB⊥AC，且AP∩AC＝A，∴PB⊥面APC，即可得PB⊥PC，故PA，PB，PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，又三棱锥P﹣ABC的外接球半径为3，∴PA2+PB2+PC2＝36，则S△PAB+S△PBC+S△PAC＝≤＝18．∴S△PAB+S△PBC+S△PAC的最大值为18，当且仅当PA＝PB＝PC＝2时...