理科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合，，则的元素个数为（）A．4B．3C．2D．12．已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A．B．C．D．3.已知等差数列的公差为,前n项和为,则“”是（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率为，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（）年开始，快递业产生的包装垃圾超过万吨.（参考数据：，）A．B．C．D．5．已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为A．B．C．D．6．已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（）A．B．C．D．7．已知函数，角A，B，C为锐角的三个内角，则A．当，时，B．当，时，C．当，时，D．当，时，8．设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果（为实数），那么的值为（）A．B．0C．D．19．已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列，若数列的前n项和为，则（）A．265B．521C．1034D．205911．已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则边上的高的长度为______.14．若x，y满足约束条件，则的最大值是________．15．在中，，则面积的最大值是________.16．已知函数，把函数的图象与直线交点的横坐标按从小到大的顺序排成一个数列，则数列的前项________.三、解答题17．（12分）已知数列的前项和满足，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.18．（12分）为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分男性人数4912131163女性人数122211042将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类.（1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.0.0100.0050.0016.6357.87910.828附：，.19．（12分）如图四棱锥，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面与平面所成角为60°．（1）求证：．（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为,过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1.为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值.21．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若在时取得极值，设，当时，试比较与大小，并说明理由.选做题22.（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），点以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于点，，若，求的值．23．（10分）己知函数的最大值为，、、均为正实数，且.（1）求证：；（2）求证：.理科数学试题参考答案一、选择题123456789101112DACBBCDCCBBD二、填空题13．14．1015．16．三、解答题17．【解析】（1）证明：根据题意可得，，，，，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，......................6分（2）由（1）可得，，，，，.......................12分18．【解析】（1）由题意得到列联表如下：不太了解比较了解合计男性253358女性53742合计307...