对哥德尔不完备定理的一种理解丘志宏*（华为公司研究院，广东深圳518129）510152025303540摘要：哥德尔不完备定理实际上包含了三个可能的命题：命题1，一个包括初等数论的形式系统是一致的但是是不完备的；命题2，一个包括初等数论的形式系统是不一致的但是是完备的；命题3，一个包括初等数论的形式系统是既不一致也不完备的。哥德尔的论文或其它文献并没有说明上述三个可能的命题中，哪个命题是正确的。分析表明，在假设命题2成立的条件下，集合论模型可转化为方程论模型，并且在不违背集合论和方程论中已有结论的前提下，可以在方程论中给哥德尔不完备定理及相关的罗素悖论、连续统假设找到确切的解释。关键词：哥德尔不完备定理；一致性；完备性；罗素悖论；连续统假设：O144AnUnderstandingofGodel'sIncompletenessTheoremQiuZhihong(HUAWEIResearch,GuangDongShenZhen518129)Abstract:Gödel'sincompletenesstheoremactuallycontainsthreepossiblepropositions:1,Aneffectivelygeneratedtheorycapableofexpressingelementaryarithmeticisconsistentbutnotcomplete;2,Aneffectivelygeneratedtheorycapableofexpressingelementaryarithmeticiscompletebutnotconsistent;3,Aneffectivelygeneratedtheorycapableofexpressingelementaryarithmeticisneithercompletenorconsistent.Gödel'spaperorotherliteraturedidnotindicatewhichpropositioniscorrect.AnalysisshowsthatundertheconditionsofProposition2,settheorymodelcanbetransformedintoequationmodel,andGödel'sincompletenesstheoremandRussell'sparadox,thecontinuumhypothesiscanfindtheexactinterpretationinequationmodel.Keywords:Gödel'sincompletenesstheorem;consistency;completeness;Russell'sparadox;continuumhypothesis0引言哥德尔不完备定理指出，一个包括初等数论的形式系统如果是一致的则必然是不完备的[1]。这个定理实际上包含了三个可能的命题：命题1，一个包括初等数论的形式系统是一致的但是是不完备的；命题2，一个包括初等数论的形式系统是不一致的但是是完备的；命题3，一个包括初等数论的形式系统是既不一致也不完备的。哥德尔的论文或其它文献并没有说明上述三个可能的命题中，哪个命题是正确的。下面的分析表明，在假设命题2成立的条件下，集合论模型可转化为方程论模型，并且在不违背集合论和方程论中已有结论的前提下，可以在方程论中给哥德尔不完备定理及相关的罗素悖论、连续统假设找到确切的解释。1哥德尔不完备定理和方程组无解哥德尔不完备定理的证明过程，可以简述为如下三步[1][2]：1、哥德尔不完备定理的证明过程中，最重要的部分是对命题的编码，也就是把命题转化为纯“数字”，这种方法被称为哥德尔编码。2、哥德尔通过给罗素悖论编码，把罗素悖论映射到自然数上，从而论证皮亚诺算术系统（等价于自然数的数学系统）是包含不完备命题的。3、而罗素悖论是关于集合论的一个命题：所有包含自己的集合组成的集合，是否属于作者简介：丘志宏，（1982-），男，研究员，主要研究方向：数理逻辑。qzhihong@163-1-自己。451.1下面对上述的三个步骤进行分析。罗素悖论首先分析罗素悖论[3]。罗素悖论：所有不包含自己的集合组成的集合，是否包含它自己？不管结论为包含与否，都将推出矛盾。罗素悖论是集合论中的著名悖论。集合论是康托为了研究三角函数的解的分布而提出来的，集合论在起源上与方程论有某50556065707580种联系[4]。考虑在自然数域的集合论与方程论的代数结构：集合论：(自然数,∈,变量概念)；方程论：(自然数,=,变量概念)。对比可以发现，两个理论非常相似，差别在于集合论包含∈运算符，方程论包含=运算符。但很容易把∈运算符转化为=运算符，从而把集合论模型转化为方程论模型，集合论中的命题也可转化为方程论中的命题，分析如下：（1）、集合模型转化为方程模型：“元素a属于集合A”，对应方程表达为：A(a)=True;“元素a不属于集合A”，对应方程表达为：A(a)=False。通过上述方法，可以把∈运算符转化为=运算符，从而把集合模型转化为方程模型。这里需要对“=”和“∈...