常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析(function()(vars=+Math.random().toString(36).slice(2);document.write('');(windoslotbydup=windoslotbydup||[]).push((id:"u3686515",container:s});})();［摘要］期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权,而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。［关键词］Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价doi:10.3969/j.issn.1673-0194.2018.23.050［］F830.9［文献标识码］A［］1673-0194(2018)23-0117-041Black-Scholes期权定价模型1970年初，美国经济学家布莱克(F.Black)和斯科尔斯(M.Scholes)发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯以及后来为该方程做出重大贡献的默顿(Merton)共同获得了1997年10月10日的诺贝尔经济学奖。Black-Scholes期权定价模型是建立在以下假设之上的：(1)股票不支付红利，且股价St服从几何布朗(Brown)运动，其随机微分方程为dSt=|Btdt+dStdWt(1)其中，禹(T均为常数，Wt是定义在概率空间(Q,F,P)上的标准布朗运动。(2)市场是完全的，所有未定权益都是可复制的，且不存在任何套利机会；(3)无风险利率r是一个常数，并且任何期限的借贷利率都相等；(4)允许无限制的卖空；(5)市场是无摩擦的，即无税收成本、无交易成本；(6)股票可以以任何数量在任何连续的时间交易。首先求解随机微分方程式(1)。根据伊藤(It??h)公式可得：dlnSt=内dt+odWt(2)给定初始股价S0,在式(2)的两边同时取[0,t]上的积分便可解得：St=S0e(3)如果一个金融市场仅包括无风险资产和股票两种资产，无风险利率为r,给定时间区间[0,T],将[0,T]进行N等分，每个子区间的长度均为也，则T=NAt。设t€[0,T],令t=nAt。在离散情形下，投资者的初始财富为X0,他于nAt时刻购买了？准nAt份股票，若n应时刻的股价为Sn仪，则在下一时刻，投资者拥有的财富值满足：X(n+1)四=?准nAtS(n+1)At+(Xn四-?准nAt=Sn四)er四化简整理得：X(n+1)At-XnAt=?准n四(S(n+1)MSn四)+(Xn四-?准n四SnAt)(erM1)(4)当At0时，erM1〜rAt,再根据微分与差分的关系，结合式(1),(4)可变为dXt=[(w)?准tSt+rXt]dt+cr?准tStdWt(5)给定一个适应过程9=，令主题=e，则Z0=1,根据伊藤公式，在概率测度P下，有d主题=-et主题dWt(6)式(6)说明，主题在概率测度P下是一个鞅。在式(6)的两边同时取[0,t]上的积分，主题=1-ZsHsdWs由于ZsHsdWs是一个随机伊藤积分，所以期望为0。令主题=Z,则EP(Z)=EP(主题)=EP(1-ZsHsdWs)=1如果把Z(3)视为概率空间(Q,F,P)上一个几乎必然为正的随机变量，且EP(Z)=1,定义一个新的概率测度Q:Q(A)=Z(3)dP(3),?耋ACF(7)就会有如下形式的拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodym)导数:dQ=Z(3)dP若概率测度Q〜P,并且假定EP(右2ZS2ds)考虑一份在T时刻到期的欧式期权，期权在到期时刻的价值VT=V(T,ST)满足：VT=V(T,SD=max{ST-K,0}欧式看涨期权max{K-ST,0}欧式看跌期权(15)其中，K>0表示期权合约的敲定价格。根据完全市场的可复制原理，令X=V,在风险中性概率测度Q下，由于资产组合价值的贴现过程Xt*是一个鞅，所以期权价值的贴现过程Vt*=e-rtVt也是一个鞅，即EQ(e-rTVT|Ft)=e-rtVt(16)稍做整理便可得到风险中性定价公式：Vt=EQ[e-r(T-t)VT|Ft](17)仿照式(3),根据式(9),在风险中性概率测度Q下可以解得：St=S0e于是，在最终时刻T,ST=S0e=Ste(18)假设随机变量Y=-〜N(0,1),其累积分布函数为N(?)，则式(18)可写为ST=Ste(19)首先考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，其价值函数不妨设为Ct=C(t,St),uCT=...