巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题09对数与对数函数一、【知识精讲】1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[微点提醒]1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.二、【典例精练】考点一对数的运算【例1】(1)计算：÷100－＝________.(2)计算：＝________.【答案】(1)－20(2)1【解析】(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝＝＝＝＝＝1.【解法小结】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)函数y＝lg|x－1|的图象是()(2)已知当0<x≤时，有<logax，则实数a的取值范围为________．【答案】(1)A(2)【解析】(1)因为y＝lg|x－1|＝当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．(2)若<logax在x∈时成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，作出图象如图所示．由图象知<loga，所以解得<a<1.即实数a的取值范围是.【解法小结】1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.考点三对数函数的性质及应用角度1对数函数的性质【例3－1】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】由题意知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.角度2比较大小或解简单的不等式【例3－2】(1).(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【答案】D【解析】令t＝2x＝3y＝5z， x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y.又 2x－5z＝－＝＝<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.12(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是()A.(0，1)B.C.D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，∴a>.综上，a∈.角度3对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，...