考点三十九：与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】（2017湖南张家界第3题）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】D．【解析】试题分析： OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°， AB是⊙O的直径，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故选D．考点：圆周角定理．【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】（2017海南第12题）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．80°【答案】B.考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】（2017河池第8题）如图，⊙的直径垂直于弦，则的大小是（）A．B．C.D．【答案】B.考点：圆周角定理；垂径定理.【举一反三】（2017贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2B．﹣1C．D．4【答案】A．【解析】试题解析： ⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°， ∠A=15°，∴∠COE=30°， OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】（2017贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题解析：连接BD． AB是直径，∴∠ADB=90°． OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC． BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=，∴cos∠A=cos∠BOC=．又 cos∠A=，AB=4，∴AD=．故选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．【举一反三】（2016黑龙江哈尔滨第18题）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为．【答案】4.【解析】试题分析：令OC交BE于F， AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°， AD⊥CD，∴BE∥CD， CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，在Rt△ABE中，， OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.考点典例四与圆周角有关的证明【例4】（2017湖南怀化第23题）如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.(1)求证：；(2)求证：是的切线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．试题解析：（1） AB=AD，∴∠B=∠D， AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B， ∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA， OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD， BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【举一反三】（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接BO...