s=l时加权椭球函数解的验证(北京邮电大学理学院，北京100876)摘耍：s=l时的加权椭球方程已有研究。本文通过变换口变量，使加权椭球方程转换成薛定谓形式的方程，并利用超对称量子力学的方法对英进行研究。本文也包括对地血本征值和本征函数的求解，用不同的方法验证而面一些文章的正确性。关键词：椭球波函数；超对称量子力学；超势；本征值和本征函数：0412」TheVerificationoftheSpin-weightedSpheroidalEquationintheCaseofs=lZHANGQing,TIANGuihua(SchoolofScience,Bei激ngUniversityofPostsandTelecommunications,Bei激ng100876)Abstract:Thespin-weightedspheroidalequationinthecaseofs=1isstudied.Bytransformingtheindependentvariable,wemakeitbecometheSchrodingeZikeformandinvestigateitbythesuper-symmetricquantummechanics・Thegroundeigenvalueandeigenfunctionareobtainedinthepaperandareshowntoconfirmtheresultpreviouslyobtained.Keywords:spheroidalwaveequation;supersymmetricquanlummechanics;super-potential;eigenvalueandeigenfunction0引言广义椭球波方稈最早出现在Kerr黑洞⑴的研究中，是通过分离变量的方法得到的。分离变量得到的两个Teukolsky方程中，一个是径向方程，另一个是角向方程。而后者就是我们耍研究的广义椭球波方程。英方程式为：r1dd22dlf…式0」英中I(0,)。这是-个典型的u边界条件在l二0,处的斯特姆-刘维本征问粧在上述方程中®=〈1,其中，〈是Kerr黑洞单位质量的角动量。s、1、m对应于微扰场自旋量⑵、频率分量⑶和磁场分量。$=0,±1,丄，±2分别对应于标量场，中微子场,2电磁场和引力场的微扰场的角向白旋。®=0时，上式所退化为帘权重的椭球函数，若®=s=0时，上式退化为缔合勒让徳函数，缔合勒让徳函数的详细研究过程已在文献［］中给出。文献［7］已研究过5=1的情况。他的通用变换是利用匚将上式变换为薛定谡2形式的方程，写为：作者简介：张睛，(I984-),女，学生，广义相对论。E-mail:zhqg520520@163通信联系人:田贵花,(1967)女，教授,广义相对论。E-mail:tgh-2000@263+s+®cossinIl2s®cosI(/»+-VcosI)24-E/u(l)=0sin2\Ycl2―I'\'z4y利用超对称量子力学中的微扰方法可以求解上述方程。4+£oo-i=0…式0.21一阶超势W1（Z）的求解1.1超势的导出本文中，我们将利用变换S32重新研究上式方程。如上所述，变换z=Intan-…式1丄1V（z,®,1）二［（E+l）sec/?2z+®2sec/?2^tanh2z+2®tanhzsech2z2mtanhz…式1.1.2tanh2z]±时，v（£,®,l）接近（士加+1）,当“0时，yG®,1）接近（E+i）。从量子力学的角度分析上式时,发规它是符合我们耍求且符合式（0.1）本征值问题的束缚态。因此，边界条件变为当Z±时，U0。有关边界条件的讨论很有必耍。在式（0.1）中，因为1=0和（二是式（0.1）的奇异点，所以在边界条件1=0和1=处，u（l）为零。虽然我们提到过u在1=0,处因为当z±时，sec/?z0,tanhz±1；当z在$=1的情况下，上式变为:+V（Z,®,l）u=miu其中,V（Z,®,1）=V（Z,®,^=1为:有限，但事实上是Ul=o.=0,由于1=0,分别对应于z=±，因此得LbUz±=0超势W是超对称量子力学的主耍概念，是连接地面本征值和势函数V（z,®,l）的关键。其关系式为：…式L1.3…式1.1.4在超对称量子力学中,我们需要得到超势W才能解出式式（1.1.4）。而后根据式（1.1.3）解出地面本征值U0[4Jo下血我们将超势W和本征值£o均写成®的幕级数形式:…式1」・5w_0将式（1」・4）的两边按®的幕次展开来，即:+W（k…加u®=A1SOO®Sc、乙soc乙©+$+,+n1V(z,®,5)+m2=(Eo,o：w+l)sec/?272mtanhz+tanh2z+mi®(Ej.msec/iz;+2tanh:sech2®2(£uinsec/nc+sec/12；tanh2j®HE(\n:msechiz+对比以上两式的同次轄级数，可得：WjW02=(Eow+1)secI12z2mtanh乙tanh2mi=fo(z)Wv2WoVVi=Eoa；hisec〃2z+2tanhzsechzz=f\(z)Wz2W0W2=Ei)>msec/?2z+sechiztanh2z+W12{ne3)jt=i通过上述式子可以得出Wu和肌曲，KP：Wo=mtanhz由式（1」・9）可得:J!冲,Wn(z)=cosh2mZe2zAn(Z)=An(z)(2cosh?2coshzsinhzl)cosh2〃zAn(z)=+/”(z)cosh2mzeizdz+(z)cosh2mzz2cosh2z+2coshzsinhz1］衣建义公式:Q(m.z)=+sec力2川z...