§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学习目标：1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)3.理解周期函数的定义．(难点)[自主预习·探新知]1．任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．(2)如图1-4-1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：图1-4-1正弦函数余弦函数定义通常表示法的正α点P的纵坐标v定义为角＝弦函数，记作vsin_αsinx，定义域为全体实数集，＝y1,1]值域为[－点P的横坐标u定义为角α＝u，记作的余弦函数cos_α，定义域为全体实cosxy＝1,1]－数集，值域为[在各象限的符号α都有意义吗？cosα，对于任意角1思考：αsin，页1第提示：由三角函数的定义可知，对于任意角α，sinα，cosα都有意义．2．周期函数(1)终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．①终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋2kπ)＝sin_x(k∈Z)．②终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)．(2)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．思考2：由sin(x＋k·2π)＝sinx(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？提示：2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．()(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．()ππππ????＋????，所以是f(x)＝f)的周期．)(3)对正弦函数f(x＝sinx有f(4422????(4)若f(x)()是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f(1)．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2π2π??cos，sin，则角α的最小正值为()的终边上一点的坐标为2．已知角α??335π2πB.A.3611π5πD.C.63页2第??13??.的终边上一点的坐标为由题意知，角αD[，－22??323＝cosα∴＝.2221??3??－????＋2??2??又α的终边在第四象限．11π.]α的最小正值为∴63．已知sinθ·cosθ<0，那么角θ是()A．第一或第二象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角?，θsin>0??，θ<0sin??或·cosθ<0，∴D[ sinθ?>0.?cosθ，cosθ<0?∴θ在第二象限或第四象限．]π17ππ????????的值是(f)是以为周期的周期函数，且f)＝1，则x4．若函数f(632????【导学号：64012019】A．1B．－1D．无法确定C．±1πππ17π??????2π＋＋??????1.]＝f＝f＝A[f3263??????[合作探究·攻重难]正弦、余弦函数的定义已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦值和余弦值．[解]法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，页3第22＋y＝．又因为x1，x则y＝2x(>0)5??，x＝552?α＝＝y，所以于是sin552??，＝y55.α＝＝xcos52222x法二：在角α的终边上任取一点P(x，x>0)，则OP＝＋)(＋y＝xx4y，＝5|x|.OP＝5x又因为x>0，所以525xy.＝＝＝，所以sinα＝cosα55x55x[规律方法]求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：的终边与单位圆交于点(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α.u＝αcos，v)，则v＝sinα，P(u，xP((2)利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设y22，则sinα＝，x|的终边上任意一点，y)是角αP到原点的距离r＝|OP＝＋yrx.α＝cosr][跟踪训练＝sinα________.α)(m1．若点P(2，－3mm<0)在角的终边上，则64012019】导学号：【如图，点P(2m13m，＝－在第二象限，且m，－3m)(<0)r][解析m－3－m3133.＝＝＝sin故有α13rm13－133]答案[13页4第判断三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号：39π．(2)cos(－925°)(1)sin；12的形式，判断角所在象限．0<α≤2π)π＋α(k∈Z,[思路探究]将角写...