5.5线段的定比分点【基础知识精讲】1.点P分有向线段所成的比的定义对于直线l上的不同三点P1、P2、P，存在实数λ，使=λ·，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比，比(λ)是一个与有向线段和的大小和方向有关的实数.当点P在线段P1P2上且异于P1、P2点时，点P是的内分点，λ=＞0，因为此时，P1P与同向；当P在线段P1P2的延长线或反向延长线上时，点P是的外分点，λ=＜0,因为此时与方向相反.如果P点在线段P1P2上，则λ＞0；如果P点在线段P1P2的延长线上，则λ＜-1；如果P点在线段P2P1的延长线上，则-1＜λ＜0.2.定比分点公式，中点公式及其推导.若=λ,设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，分点P的坐标(x,y).于是有：=(x-x1，y-y1)，=(x1-x,y2-y)， =λ,∴(x-x1,y-y1)＝λ(x2-x,y2-y)∴解得：(λ≠-1)这就是有向线段的定比分点公式.当P是线段的中点时，λ=1，此时显然有：x=，y=此即为中点公式.三角形的重心坐标公式：设△ABC的三个顶点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则其重心G(x,y)有：注意：(1)在运用线段的定比分点坐标公式时(x1,y1)是起点坐标，(x2,y2)是终点坐标，(x,y)是分点的坐标.(2)P点分有向线段的比λ=，是所分有向线段数量的比，不是有向线段长度的比，更不是有向线段的比.3.点P的位置确定比值λ的正负，当分点P与起点P1重合时，λ=0，若λ=1，则P为线段P1P2的中点，无论λ取任何实数(λ≠-1)分点P不能与终点P2重合.【重点难点解析】线段的定比分点公式是本章的重点和难点.例1已知P1(-3,-6)和P2(3，0)两点，延长P2P1到P，使｜P1P｜=｜P1P2｜，则点P的坐为.解：因P在P2P1的延长线上，把P看作外分点，∴λ＜0又｜PP2｜=｜PP1｜+｜P1P2｜=｜P1P｜+｜P1P｜=｜P1P｜则λ==由定比分点坐标公式可解得：x=-7,y=-10,故P点坐标为(-7，-10).例2已知A(5，-1)，B(-1，7)，C(1，2)，求△ABC中∠A的平分线AD的长.解： ｜AB｜==10｜AC｜==5则λ==｜｜=｜｜=2设点D(x0,y0)，则x0==y0==即D(，)，于是｜AD｜==评析：本例运用了三角形角平分线的性质：若AD是△ABC的内角平分线，则｜AB｜∶｜AC｜＝｜BD｜∶｜DC｜.在学习解析几何时，要尽可能地发掘出所给图形的几何性质，以简化解题.例3已知△ABC的三个顶点为A(4，1)、B(7，5)、C(-4，7)试求：(1)三边的长.(2)AB边上的中线CM的长.(3)重心G的坐标(4)∠A的平分线AD的长.解：(1)｜AB｜==5｜BC｜==5｜CA｜==10(2) M为A(4，1)，B(7，5)的中点∴xM==yM==3∴｜CM｜==(3) G为△ABC的重心.∴3=++(O是坐标原点)∴xG==yG==即G(，)(4) D为∠A的平分线与BC的交点∴D分所成的比λ==根据角平分线的性质有===∴xD===yD===∴AD==说明：解题时要注意数量比与长度比的关系，注意以λ为桥梁，解决有关问题，在一条直线上的线段“横比”与“纵比”是一致的.例4已知□ABCD的顶点A(-，-7)，B(2，6)，对角线交点为M(3，)，求另外两个顶点C、D的坐标.解：设C(xC,yC)，D(xD,yD)，则M是AC和BD的中点，即A、C关于M对称，B、D关于M对称.∴∴C、D两点坐标为：C(，10)，D(4，-3)说明：此题可用平面向量的办法求解.例5设λ1、λ2、λ3均不为零，且λ1+λ2+λ3=0,λ1x1+λ2x2+λ3x3=0，λ1y1+λ2y2+λ3y3=0.求证：P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)三点共线.分析：只要在P1、P2、P3中找出一个点作为分点，求出对应的λ值即可得证.由已知，x3＝==同理可得：y3=这说明P3是分成定比的分点.故P1、P2、P3三点共线.说明：此题可利用平行向量的充要条件进行证明：=(x2-x1,y2-y1)，=(x3-x1,y3-y1)，由已知可证得=-，从而∥，又，都过P1，则P1、P2、P3三点共线.【难题巧解点拔】例若直线l:mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2，3)，B(3，2)，求m的取值范围.解：设l交有向线段于点P(x,y),且=λ(λ≥0，当λ=0时直线过A点)，则因P点在l上，故m·++2=0解得λ=≥0，从而解得m≥或m＜-,由于设λ时，无形中排除了P，B重合的情形(PB≠0)所以要补充P，B重合的情形，将B点坐标代入直线l的方程，求得m=-.故m的范围为m≥或m≤-.说明：(1)本解法要比先判断出l为过定点的直线，再用斜率求出m的范围的方法要直观.(2)在利用定比分点坐标公式求参数的取值范围时，一般都是利用公式中的λ有范围限制(内分λ＞0;外分λ＜-...