四函数、不等式中的恒成立问题1．(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)＝g(x)＝|A－2|·sinx(x∈R)，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)，则实数A的取值范围为()A.B.C.D.∪2．(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A．[－1,2]B．(－1,2)C．[－2,1]D．(－2,1)3．(2014年辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]4．设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．5．(2015年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.6．已知f(x)＝2ax－＋lnx在x＝1与x＝处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝x2－2mx＋m，若对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g(x1)≥f(x2)－lnx2，求实数m的取值范围．7．已知函数f(x)＝ax2＋lnx(a∈R)．(1)当a＝时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)，在公共定义域D上，满足f1(x)<g(x)<f2(x)，那么就称g(x)为f1(x)，f2(x)的“活动函数”．已知函数f1(x)＝x2＋2ax＋(1－a2)lnx，f2(x)＝x2＋2ax.若在区间(1，＋∞)内，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“活动函数”，求实数a的取值范围．8．(2014年天津)已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1.求实数a的取值范围．．专题四函数、不等式中的恒成立问题1．C解析：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.注意到f(x)max＝f(1)＝－.又g(x)＝|A－2|sinx≥－|A－2|，故－|A－2|≥－⇒|A－2|≤⇒≤A≤.2．A解析：由题意，得∀x1∈R，∃x2∈R，使得(－ex1－1)(a－2sinx2)＝－1，即函数y＝的值域为函数y＝a－2sinx2的值域的子集，从而(0,1)⊆[a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1⇒－1≤a≤2.故选A.3．C解析：关于x的不等式ax3－x2＋4x＋3≥0可变形为ax3≥x2－4x－3.当x＝0时，0≥－3，故实数a的取值范围是R；当x∈(0,1]时，a≥恒成立，记f(x)＝，f′(x)＝＝－>0成立，故函数f(x)单调递增，f(x)max＝f(1)＝－6，故a≥－6；当x∈时，a≤恒成立，记f(x)＝，f′(x)＝＝－，当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,0)时，f′(x)>0.故f(x)min＝f(－1)＝－2，故a≤－2.综上所述，实数a的取值范围是[－6，－2]．4．[，1]解析：f′(x)＝1－＝，当0＜a≤1，且x∈[1，e]时，f′(x)＞0，∴f(x)在区间[1，e]上是增函数，f(x1)min＝f(1)＝1＋a2.又g′(x)＝1－(x＞0)，易求g′(x)＞0，∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，g(x2)max＝g(e)＝e－1.由条件知只需f(x1)min≥g(x2)max.即1＋a2≥e－1.∴a2≥e－2.即≤a≤1.5．(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，因为u(x)＝e2x在区间(0，＋∞)内单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)内单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)内单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<且b<时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在区间(0，＋∞)内的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)内单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于202ex－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.6．解：(1) f(x)＝2ax－＋lnx，∴f′(x)＝2a＋＋. f(x)＝2ax－＋lnx在x＝1与x＝处都取得极值，∴f′(1)＝0，f′＝0.∴解得a＝b＝－.当a＝b＝－时，f′(x)＝－－＋＝.∴函数f(x)在x＝1与x＝处都取得极值．∴a＝b＝－.(2)由(1)知，函数y＝f(x)－lnx＝－x＋在区间上单调递减，∴[f(x)－lnx]min＝f(2)＝－.又函数g(x)＝x2－2mx＋m图象的对称轴是x＝m.①当m<时，g(x)min＝g＝，依题意有≥－成...