一种含有镜面反射由明暗恢复形状的新算法摘要：提出了一种基于混合反射模型的由明暗恢复形状的离散算法，采用有限差分近似微分运算，将一阶非线性微分方程所描述的反射图方程转化为关于未知表面高度的代数方程，再由反射图方程和图像梯度信息构造目标方程，进而用Newton迭代算法求出该方程的数值解，得到表面三维形状，所提出的新算法具有快速准确的特点，在恢复物体的细节和边缘时，比同类算法更准确，合成半球图像的实验结果表明，与三角形面元算法相比，新算法恢复高度的平均相对误差和CPU运行时间分别减少了37.2％和20.22％。关键词：三维形状恢复；混合反射模型；反射图方程：TP391.4文献标识码：A：0253-987X(2007)04-0435-05由单幅图像灰度明暗变化恢复物体三维形状(Shape-From-Shading，SFS)是计算机视觉中被动三维测量技术的重要方法之一，广泛应用于工业生产线自动化测量、医学、SAR图像地形测量及月球或星球表面形状恢复[1-3]，SFS算法在20世纪70年代由Horn等人提出并发展[4-6]，在此基础上，提出了多种改进算法，如有限元算法、神经网络算法等[7-8]，然而，目前的算法普遍存在两方面问题：一是反射模型过于简单，通常的SFS算法使用漫反射模型，在实际成像过程建模时存在误差[1-4]；二是先求表面梯度再积分的两步间接算法的数值积分误差比较大[9]本文提出了一种基于混合反射模型的SFS直接算法以克服上述两方面不足，新算法使用既含有漫反射又含有镜面反射的混合反射模型，采用有限差分运算近似微分运算，使用表面高度表示的反射图及其图像梯度信息构造目标方程，并使用New-ton迭代算法求解目标方程，得到新的三维形状恢复直接算法。1光照反射模型及目标方程设像平面为xy平面，摄像机方向与z轴重合，在正交投影成像条件下，SFS问题是求解图像的反射图方程[4]。式中：R(p(x，y)，q(x，y))是反射模型确定的反射图；I(x，y)是采集的灰度图像，[p(x，y)，q(x，y)，-1]T是表面高度函数z=z(x，y)的梯度向量，其中以下p(x，y)，q(x，y)分别简记为p，q。已知点光源方向向量为[pn，qn，-1]T，摄像机方向向量为[pc，qc，-1]T，其中p0和q0分别是光源方向向量在x轴和y轴方向的分量，pc和qc分别是摄像机方向向量在x轴和y轴方向的分量，光源与摄像机中垂线的方向向量为[(pc+p0)/2，(qc+q0)/2，-1]T，记为[ph，qh，-1]T，理想漫反射表面和理想镜面反射表面的反射图常用Lamlertian模型[4]和Phong模型表示[6]，由理想漫反射模型和理想镜面反射模型的线性组合构成的接近实际的混合反射模型的反射图可描述为[8]式中：ω∈[0,1]是光滑因子；K∈z+是镜面反射指数因子。设图像I(x，y)在x，y方向的梯度分别是Ix(x，y)和Iy(x，y)，则由式(1)得图像的梯度反映表面的细节，故本文使用含有图像梯度信息的目标方程作为求解对象其中a≥O为图像梯度加权因子，通过多次实验得到最佳图像梯度加权因子a=0.12。2目标方程离散化经典SFS方法多为两步算法[1-4,8]，先使用变分方法求梯度向量，然后由梯度向量经过数值积分得到高度函数。然而，由梯度恢复高度的积分误差比较大[9]，因此本文采用中心差分近似微分运算，将式(6)直接转化为关于高度的非线性方程组，求出高度函数，从而避免梯度积分误差。设图像的分辨率为M×N，离散域坐标(i，j)∈[1,M]×[1,N]对应连续域坐标(x，y)∈D2，其中D2为图像区域，内部像素点用中心差分有在4个角点和4条边界上用前向差分或后向差分近似偏导数进行离散化，再由式(3)～式(6)得3SFS算法已知点光源方向和摄像机的方向，计算光源与摄像机中垂线的方向，归一化图像得到I(i，j)，对于某种材质的表面确定其光滑因子ω和镜面反射指数因子K的值，设初始高度为z(0)，z*是满足方程组(8)的真解，由Taylor公式展开第k个方程，得式中：k为(1,1)，(1,2)，…，(1,N)，(2,1)，(2,2)，…，(2,N)，…，(M,1)，(M,2)，…，(M,N)，如果直接用Newton法求非线性方程组(8)，则需要计算维数是MN×MN的Jacobi矩阵及维数达到MN×MN的逆矩阵，这不易求解。因此，本文采用投影Newton算法，在迭代计算z的某一个分量zi,j时，使其他像素点的高度不变，即得到M×N+1维空间的曲线F(z)沿下降方向在M×N维空间的...