科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在中，向量关于基的坐标为。2、向量组的秩为，一个最大无关组为.。3、（维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么。4、假设的特征根是，特征向量分别为。5、实二次型的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（）2、在中，定义变换,其中，是一固定的数，那么变换是线性变换。（）3、设是向量空间的两个子空间，那么它们的并也是的一个子空间。（）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）5、令是的任意向量，那么是到自身的线性变换。其中。（）6、矩阵的特征向量的线性组合仍是的特征向量。（）7、若矩阵与相似，那么与等价。（）8、阶实对称矩阵有个线性无关的特征向量。（）9、在中，若由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么是的子空间。（）10、齐次线性方程组的非零解向量是的属于的特征向量。（）三、明证题（每小题××分，共31分）1、设是线性空间的一组基，是上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。（10）2、设是维欧氏空间的一个线性变幻，证明：如果是对称变幻，=是单位变幻，那么是正交变换。（11）3、设是一个维欧氏空间，证明：如果都是得子空间，那么。（10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、求矩阵的特征根与特征向量，并求满秩矩阵使得为对角形矩阵。2、求一个正交矩阵，使得使对角形式，其中。3、化二次型为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、（3,4,1）2、秩为2，一个最大无关组为3、维（）+维（）=维（）+维（）4、特征根是1，1，2，特征向量分别为5、秩为3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是）2、（是）3、（是）4、（否）5、（否）6、（否）7、（是）8、（是）9、（是）10、（是）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明设可逆，则存在，且也是的线性变换，（1）若线性相关，则，(2)即也线性相关，这与假设是基矛盾，故线性无关。(5)反之，若线性无关，因是维线性空间，故它也是的一组基，(7)故对中任意向量有，即存在，使，故为到上的变换。(8)若又有，使，即，因为是基，，即，从而又是一一的变换，故为可逆变换。（10）2、证：,(4)=,(8)=,(10)=0,（11）3、证：（1）,(5)同理，(8)则。（10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、解：=，则的特征根为，,(3)，它们对应的特征向量分别为，(6)易知线性无关，取，那么就得。(8)2、解：，则特征根为，(3)对应它们的线性无关的特征向量分别为，(6)他们单位化后分别为，取正交矩阵，(7)则,。(8)3、解，，得(2)整理得(4)在令，，(6)，,(8)