难点20不等式的综合应用-自考365中国专业的自考

难点20不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类:一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<.(1)当x∈[0,x1时,证明x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<.●案例探究[例1]用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米,盖子边长为a米,(1)求a关于h的解析式;(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度)命题意图:本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托:本题求得体积V的关系式后,应用均值定理可求得最值.错解分析:在求得a的函数关系式时易漏h>0.技巧与方法:本题在求最值时应用均值定理.解:①设h′是正四棱锥的斜高,由题设可得:消去②由(h>0)得:所以V≤,当且仅当h=即h=1时取等号故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米.[例2]已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1.(1)证明:|c|≤1;(2)证明:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---命题意图:本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析:本题综合性较强,其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解,以及对条件“-1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用;绝对值不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局.技巧与方法:本题(2)问有三种证法,证法一利用g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.(1)证明:由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,取x=0得:|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)证法一:依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,所以|c|≤1.当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1). |f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,因此得|g(x)|≤2(-1≤x≤1);当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1), |f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2.证法二: |f(x)|≤1(-1≤x≤1)∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1, f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,因此,根据绝对值不等式性质得:|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2, g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1.当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0, |f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f|≤1,|f()|≤1;---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f|+|f()|≤2.(3)解:因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.① -1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1.因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得-<0,即b=0.由①得a=2,所以f(x)=2x2-1....

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