EDCBA高一数学竞赛班二试讲义第1讲平面几何中的26个定理班级姓名一、知识点金1.梅涅劳斯定理：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边,,BCCAAB或它们的延长线分别交于,,PQR，则1BPCQARPCQARB注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2.塞瓦定理：设,,PQR分别是ABC的三边,,BCCAAB或它们的延长线上的点，若,,APBQCR三线共点，则1BPCQARPCQARB注：塞瓦定理的逆定理也成立3.托勒密定理：在四边形ABCD中，有ABCDBCADACBD，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。注：托勒密定理的逆定理也成立4.西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作,,BCABCA的垂线，垂足分别为,,DEF，则,,DEF三点共线。西姆松定理的逆定理：从一点P作,,BCABCA的垂线，垂足分别为,,DEF。若,,DEF三点共线，则点P在ABC的外接圆上。5．蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 △AMDCMBAM/CM=AD/BC∽△∴ AS=1/2AD，BT=1/2BCAM/CM=AS/CT∴又 ∠A=CAMSCMT∠∴△∽△∴∠MSX=MTY∠ ∠OMX=OSX=90°OMX+OSX=180°∠∴∠∠∴O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=MOX∠∴∠MOX=∠MOY， OMPQXM=YM⊥∴注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6．坎迪定理：设AB是已知圆的弦，M是AB上一点，弦,CDEF过点M，连结,CFED，分别交AB于,LN，则1111LMMNAMMB。7．斯特瓦尔特定理：设P为ABC的BC边上任一点，则有2222PCBPBPPCAPABACBCBCBCBCBC。注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8．张角定理：设,,ACB顺次分别是平面内一点P所引三条射线,,ABAPAC上的点，线段,ACCB对点P的张角分别为,，且180，则,,ACB三点共线的充要条件是：sin()sinsinPCPBPA9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。ABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC的外接圆半径的12。证明：ABC的九点圆与ABC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为1:2。10．欧拉线：ABC的垂心H，重心G，外心O三点共线。此线称为欧拉线，且有关系：2HGGO11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R和r，则这两圆的圆心距(2)OIRRr。由此可知，2Rr。证明：设外心为O，内心为I，连结OI，延长交外接圆于,NP两点，令dOI，AI交外接圆于L，则()()2sin22sin2ArRdRdNIIPLIIALBIARRrA12．笛沙格定理;在ABC和ABC中，若,,AABBCC相交于一点O，则AB与AB，BC与BC，AC与AC的交点,,FDE共线。证明：OBC和梅尼线BCD，1OBBDCCBBDCCO；OAB和梅尼线ABF，1OAAFBBAAFBBO；OAC和梅尼线ACE，1OCCEAACCEAAO，三式相乘，得1BDCEAFDCEAFB。得证13．牛顿（Newton）定理1：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证法1：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI’，因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点。证法2：外四边形为ABCD，对应内切四边形为EFGH。连接EG，FH交于P。下面证明BD过P即可。过D座EG的平行线交BA与S，过D做FH的平行线交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M，圆M与圆O，内切圆交于EG，所以其根轴为EG，同理对圆N，DHFT，与圆O交于HF。HF为此两圆的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即可证明BD，EG，HF共于点P。D在圆M...