第06讲函数的应用【学习目标】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.【备考指南】1、函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大.2、函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题.【考点总结】一、函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个【常用结论】有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同【常用结论】1．“对勾”函数形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．(2)当x>0时，x＝时取最小值2，当x<0时，x＝－时取最大值－2.2．解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．(2)解应用题建模后一定要注意定义域．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．一、函数与方程【考点解析】【考点】一、函数零点所在区间的判断例1．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B.因为f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，所以f(1)·f(2)＜0，因为函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．例2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：选A.因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.例3．设函数y1＝x3与y2＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．解析：令f(x)＝x3...