《高等数学》第十二章复习要点

第十二章微分方程复习要点:一、了解微分方程的基本概念微分方程:表示未知函数﹑未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。微分方程的阶:方程中未知函数的导数或微分的最高阶数。微分方程的解:满足微分方程的函数。通解:含有与微分方程阶数相同个数的任意常数微分方程的解。特解:满足初始条件的微分方程的解。二、会解一阶微分方程1.可分离变量的微分方程定义:若一阶微分方程可整理成:,则称该微分方程为可分离变量的微分方程。解法:方程两端同时求积分,即2.齐次微分方程定义:若一阶微分方程可整理成:,则称其为齐次微分方程。解法:做变量代换,令,即,则将原方程化为可分离变量的微分方程:,求得其通解后再把代回即可得原微分方程的通解。3.一阶线性微分方程定义:形如的方程称一阶线性微分方程。求解公式:4.全微分方程定义:若微分方程的左端恰好是某二元函数的全微分,即,则称该微分方程为全微分方程。判断方法:的是全微分方程全微分方程通解为:二、会解高阶微分方程1.型的微分方程特点:该方程中不显含解法:连续积分次,得其通解2.型的微分方程特点:该方程中不显含未知函数解法:令,将方程化为:,这是一阶微分方程,解之得其通解,代回得,又是一阶微分方程,方程两端同时求积分即可得原方程的通解3.型的微分方程特点:该方程中不显含自变量解法:令,则,原方程化为:,这是一阶微分方程,解之得其通解为,代回得,这是一阶可分离变量的微分方程,再解之就可得原方程的通解。4.二阶常系数线性齐次微分方程标准形式:解法:特征方程法,其通解如下表:特征方程:的通解有两个不相等的实数根有两个相等的实数根有一对共轭复根5.二阶常系数线性非齐次微分方程重点:会求形如的通解定理:微分方程的通解,其中是对应齐次方程的通解,是原方程的一个特解。,其中为待定常数,取0,1,2.当不是特征方程的根,当是特征方程的单根,当是特征方程的二重根,求的通解步骤为:(1)先求对应齐次方程的通解(2)再求原方程的一个特解,方法:先设出,再求出,将它们代入原方程,通过比较的同次幂的系数,确定待定常数的取值,得到,则方程的通解为:

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