§3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入(一)学习目标1.了解引入虚数单位i的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理(1)复数的概念设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数．(2)复数的表示复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称作虚数单位．知识点二复数的分类与复数相等的充要条件思考1复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？答案实数．思考2复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？答案纯虚数．梳理(1)复数的分类①复数(a＋bi，a，b∈R)②集合表示：(2)复数相等的充要条件如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c，且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0，且b＝0.1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×)2．复数z＝bi是纯虚数．(×)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√)类型一复数的概念与分类例1当实数m满足什么条件时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i：(1)是纯虚数；(2)是实数；(3)是虚数．解(1)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，解得m＝4.(2)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，解得m＝－2或m＝－3.(3)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是虚数，解得m<1－2或m>1＋2且m≠－2且m≠－3.反思与感悟利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0.跟踪训练1实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.类型二复数相等例2(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．解(1) x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，∴解得a＝11或a＝－.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练2已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解 M∪P＝P，∴M⊆P，∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±iD．±2i答案C2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．以上都不对答案A解析因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1，故选A.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－ai(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦i是一个无理数．其中真命题的个数为()A．3B．4C．5D．6答案B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝________.答案－4解析根据复数相等的充要条件，有解得a＝－4.5．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．答案2－2i解析2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2.∴新复数z＝2－2i.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，...