8.6.1直线与直线垂直导学案编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角【自主学习】知识点1异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一异面直线所成的角【例1】如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？[解](1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．归纳总结：“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角或直角都是相等的，而与所取点的位置无关.【练习1】如图，已知在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.探究二直线与直线垂直的证明【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.[解]法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HEDB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝.∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.归纳总结：证明两条异面直线垂直的步骤1恰当选点，用平移法构造出一个相交角.2证明这个角就是异面直线所成的角或补角.3把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数.4给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证.【练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD．[证明] 点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC．∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中， FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD．课后作业A组基础题一、选择题1．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】A[①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．]2．如图正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C[连接BC1、A1C1(图略)， BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]3．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的...