竞赛问题中的数学归纳法维普资讯第8朝高中数学教与学竞赛问题巾硇数学归纳法5平(江苏省南菁中学，214400)一些较为简单的与正整数有关的竞赛“、b有两种状况，即a、b全不等于P,或n,b命题，我们可考虑用数学归纳法来证明，证明的关键在于我们要留意充分利用和敏捷运用“归纳假设”.下面两个典型的例子可给我们一些启示.中仅有一个为.若a,b全不等于P,不妨设a:P十a,b:P+ai,贝0ln—bl:lai~aj1.a+b:2ala2…a^+(ai+aj),由①,②易得，la—bll(a+b).若a,b仅有一个为P,不妨设a=P,b:P+ai,则Ia—bl:,例1求证：对任意的n∈N,≥2,都存在个互不相等的正整数组成的集合M,使得对任意的nM,bM,Ia—bl∈∈都可以整除a+b.a+b=2ala2…ak+aj证明(1)当n=2时，存在M={1,2}.:aj(2ala2…aj~1aj+l…a^+1)由a,6∈M,易知，Ia—b}I(a+6).当：3时，存在M:{4,5,6}.设c},b∈M,则{n,b}:{4,5}或{5,6}或{4,6},易证，la—bll(a+b).即la—bl1(a+b).所以，=志+1时，原命题也成立.由(1)、(2)可知，原命题成立.充分熟悉“归纳假设”,才能充分活用“归这说明为2或3时，原命题成立.(2)假设=是(忌≥2)时原命题成立，即纳假设”,拓宽思维空间，本文的证明中充分存在忌个互不相等的正整数组成的集合M={al,。2,a3,…,a^}(a∈N)对任意的Ⅱ,aj(1≤i≤k,1≤J≤k),总有Ia—n’.’熟悉了M的性质(任二元的差的肯定值整除它们的和),从而在构造Mk+1时，也留意其类似的结构，而不是在M的基础上简洁构造M+1(添元a+),对应的元素不是肯定相同.(a。十(2J).①上面的证明也告知我们，运用数学归纳法证明时，要突破“归纳假设”的形式，充分熟悉“归纳假设”的结构、意义与性质，这样才能使我们合理地找到“”:k+1时的命题”的证明思路.a+aj:(a—aj)+2a,:一(a—aj)+2,Ⅱ’..Iai—ajII2aj,I“,一aj}}2.ai,②Ia—ajII(2ala2…).当：k+1时，令’..例2已知。0,al,a2,…,a∈R且任意给定，∈N,求证^P=ala2a3…akn.a1a,易知P也为正整数，取Mk+1={P,P+al,P+a2,…,P+a^},贝4M+1中的k+1个(n0+n1)m’(n0+nl十a2)m。+数互不相等.对任意的aM+l,b∈∈+1,(0+l++…+)、去n孑aaa2am+l-37维普资讯高中文学教与学分析这是一道很闻名的竞赛问题，难度较大，单搏教授给出了一种证明方法，本文用数学归纳法给出证明.ak20o3年(nI1+n2+n+…+n量)+易知.”=l时，左边“(aIl+a2+a3+…+n量十a量+1)埘/\上Ⅲa【l③(61n+。1)a1在③中用a2al替换ao,立得+(all+al+a2)“+(I+I)口nlaIa3Ⅱ【a【1+I)a1]1.(a0+aI+a2+a3)口女+1即n=l时原不等式成立.现假设，I=k(k≥1)时原不等式成立，即“I(n0+a川+n’+…(n0+al+“2)川…+a+1)m+l④④式两边同加上a1a1,(a0+a1)a2得—++n●一l一^,十口n_O,①口1)+(n0+(a0+Ⅲ。l+a2)+ak+1l-于是只要证明=k+1时下面的式子成2aI一卅(口0+al+a2+…+a量+1)Ⅲ十(口0+a1)’a1)+口2—l一⑤(n0+al+a2这样，我们由归纳假设①推得不等式⑤.‘(a0+a1)aIⅢ+———————而可!量_+L——————一+——+(a0+al+n2+…+a士+1).口+cI,J+l口口l+口+CIm0-al②假如忽视“归纳假设”①的结构与意义，那么由①证明不等式②是难以奏效的.事实上，仅从不等式①的形式上看，不等式②比不等式①更强.能否证明不等式②成立？注n口1[a0+(m+1)aI]ao意到①中的a0,aI,a2,…,a女可以用任意正实数替换.将①中分子分母中al,a2,…,a女分别用a2,a3,…,a女.a+I替换.便得=+口：『(a0+ma1)+口’(an+a2)a4+a3aoao川(+(all+a2+a3)+ma1)、口≤.⑥故由⑤及⑥便得不等式②成立.以上的证明，思路新奇，充分体现了活用归纳假设的思想.(a0+a2+a3+a4)