洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合，，则集合（）A．B．C．D．2．若复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设数列是等差数列，首项，且，则数列的前10项和等于（）А．100B．84C．42D．104．命题“，”的否定是（）A．，使得B．，使得C．，D．，5．下列函数中最小正周期是且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．6．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若平行于内的无数条直线，则B．若，，则平行于内的无数条直线C．若，，，则D．若，，则7．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（）А．B．C．D．8．已知圆：交轴正半轴于点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为（）А．B．C．D．9．在中，，，的最小值是（）А．1B．C．D．210．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A．1B．2C．4D．512．定义在上的函数满足，当时，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题13．已知函数，则______．14．已知角的终边过点，则的值是______．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．在中，，，分别是角，，的对边，若．且的中线，则的最大值是______．三、解答题（一）必考题：17．已知数列的首项，前项和为且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．（1）求证：；（2）求三棱柱的侧面积．19．设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．求证：直线过定点．20．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，（），，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据．则得到体育成绩的折线图如下：（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且，，，当三人的体育成绩方差最小时，写出，，的一组值（不要求证明）．注：，其中．21．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，证明：在上存在唯一零点．（二）选考题22．选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于、两点（在轴上方），求的值．23．选修4—5：不等式选讲（1）已知，，是正数，且满足，求证；（2）已知，是正数，且满足，求证：．洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷参考答案（文）一、选择题1—5DCABA6—10BCBCD11—12AD二、填空题13．214．15．16．4三、解答题17．（1） 时，，∴当时，．两式相减得：．又，，∴∴是首项为2，公比为3的等比数列．从而．（2） ，∴，∴，，∴．∴①∴②．①-②，得：∴．18．（1） ，∴侧面是菱形，∴． 侧面底面，且平面平面，，∴平面．又 平面，∴．又，∴平面．又平面，∴．（2）设棱的中点为，连，，则，∴底面．从而．由，．得，，∴．在中，由余弦定理得，从而．∴．由（1）知平面，∴，，又．∴三棱柱的侧面积为．19．（1） 是抛物线上一点，且．∴，解得，即抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，，，由消去得，则，．因为，所以，即．化简得．由得．所以直线经过定点．20．（1）体育成绩大于或等于70分的学生有30人，∴估计该校高一年级学生“体育良好”的人数...