第20讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f=1T=2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=Asin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3-20-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sinx的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是.3.[教材改编]函数y=cos(2x-π2)的周期为,单调递增区间为.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos(2x+π3)的图像,只需将函数y=sin2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=12sinωx在区间[-π2,π2]上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f(π8+t)=f(π8-t),且f(π8)=-3,则实数m=.图3-20-28.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-20-2所示,则φ=.探究点一函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换例1(1)将函数f(x)=sin(2x+π4)的图像沿x轴向左平移π8个单位长度后所得图像对应的函数解析式为()A.y=cos2xB.y=-cos2xC.y=sin(2x+3π8)D.y=sin(2x-π8)(2)若由函数y=sin(2x+π2)的图像变换得到y=sinx2+π3的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin2x+π2图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x轴()A.向右平移π3个单位长度B.向右平移5π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向左平移5π12个单位长度[总结反思]由y=sinx的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.变式题(1)[2018·江西八所重点中学联考]将函数y=sinx-π6的图像上所有的点向右平移π4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为()A.y=sin(2x-5π12)B.y=sin(x2+π12)C.y=sin(x2-5π12)D.y=sin(x2-5π24)(2)为了得到函数y=sin3x的图像,可以将y=cos3x的图像()A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π3个单位长度探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式例2(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图像如图3-20-3所示,将函数y=f(x)的图像向右平移π4个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2sin(2x+π8)C.g(x)=2sin(2x+π4)D.g(x)=2sin(2x-π4)图3-20-3(2)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分图像如图3-20-4所示,则φ=.图3-20-4[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.图3-20-5变式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-20-5所示,且Aπ2,1,B(π,-1),则φ的值为.探究点三函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质例3[2018·湖北八市联考]函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是[5π12,11π12].将y=f(x)的图像先向左平移π4个单位长度,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g(x).(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在区间[0,π4]上的最大值和最小值.[总结反思]三角函数图像与性质综合问题的求...