解析几何中的最值距离探析摘要：解析几何中的最值问题是高考中的热点问题，既有选择题，乂有填空题、解答题，难度中等偏高•高考题中有关解析儿何中求距离最值问题，最终都可以转化为定义或对称思想、三角有界求值域的方法解Z,一般思想转折线和为线段最短问题.关键词：数学；解析几何；求线段最值；曲化直中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9324(2014)07-0241-01解析几何中的最值问题是高考中的热点问题，既有选择题又有填空题、解答题，难度中等偏高•考查上述问题时，通常考查函数与方程、转化与化归及分类讨论等思想方法•这就要求同学们对最值问题要做到心中有数，运算准确，争取在此类问题上能够脱颖而出•下面，就常常出现的几类题型介绍一下自己的看法.例1已知点A(-3,8),B(2,2),点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P的坐标.【解析】设点B关于x轴的对称点为B1,连AB1交x轴于点P,则易知点P满足|AP|+|PB|最小•可求得直线AB1的方程2x+y-2二0.令y二0,则x二1•故所求点P的处标为(1,0)・点评：此题考查直线上一点到直线同侧的两点距离和的最小值，往往转化为对称问题，用直线方程的方法求解•很好地把直线问题与几何问题结合到了一起，难度不大，属于易得分题.例2若实数x,y满足x2+y2+8x-6y+16二0,则x+y+1的最大值为【解析】解法一：令x+y+1二t,则依题设圆C：(x+4)2+(y-3)2=9与直线1：x+y+1-1二0有公共点，从而圮-3・WtW3■.故所求最大值为31L解法二：因为x,y满足C：(x+4)2+(y-3)2=9,所以可设x=-4+3cos9y二3+3sin0(0为参数)・所以x+y+1二3cos0+3sin0二3・sin(◎+■).故所求最大值为3H.点评：此题考查直线与圆位置关系问题•解法一考虑用圆心到直线距离与半径比较大小，同学们容易想到但要注意计算准确•解法二则巧妙地运用了三角代换方法，简化了运算步骤，是较好的选择.例3如图，已知B,C为椭圆■+■二1的两个焦点，A(-2,■)为定点，M是椭圆上一动点,求|MA|+|MC|的最小值.【解析】根据椭圆定义，有|MA|+|MC|二|MA|+(8-|MB|)=8-(|MB|-|MA|).为使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，A、B、M三点共线时才可以取得,此时|MB|-|MA|^|AB|=B,故所求最小值为8-■・点评：此题考查椭圆第一定义的灵活运用，要熟练掌握转化变形，同时应用了三点共线原理，难度稍大，属于拉分题.例4P为双曲线・-■二1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2二4和(x-5)2+y2二4上的点，求|PM|-|PN|的最大值.【解析】根据题意，作出右图•显然，01,02为双曲线的两个焦点.要使|PM卜|PN|最大，即要使|卩M|最大，|卩N|最小，以此作出M,N具体位置如右图,则容易得出|PM|-|PN|最大值为:|PM|-|PN|=(IP01I+2)-(|PO2|-1)二3+|卩01卜|卩02二3+6二9.点评：此题属于综合性较强的题型，既考查了圆的方程，乂考查了双曲线的性质•但最终还是回归到双曲线的定义上，充分体现了回归课本的指导思想.例5点A(3,2)为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2二4x上移动，则当|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是・【解析】抛物线y2二4x的准线方程为x=-l,设卩到准线的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d・要使|PA|+|PF|取得最小值，由右图可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y二2代入y2二4x,得P(l,2).点评：此题求取最值时，没有上来后先设点，而是首先观察点的位置,看能否借助概念，巧妙进行转化，于是考虑抛物线的定义，顺利解决了此题.综上所述，高考题中有关解析几何中求距离最值问题，最终都可以转化为定义或对称思想、三角有界求值域的方法解之，一般思想转折线和为线段最短问题.