专题34圆锥曲线综合应用一、考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．二、概念掌握和解题上注意点：1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x或y，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：1）.消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.2）.重视“判别式Δ”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.3.处理中点弦问题的常用方法1）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.2）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.三、高考考题题例分析例1.(2020·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率，(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【答案】(1)1；(2)y＝x＋7.(2)由y＝，得y′＝.例2.(2020浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)－<x<.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．【答案】(1)(－1,1)；(2)【解析】(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝.因为|PA|＝＝(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x)＝－，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.8．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是()A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)【答案】A9．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1【答案】A【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，所以E的方程为＋＝1.11．已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足|AP|－|BP|＝2，则AP·BP为()A．－12B．12C．－9D．9【答案】D12.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.二、填空题13．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．【答案】16【解析】直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.14．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________．【答案】x＋2y－8＝015．已知椭圆＋＝1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为__________.【答案】2【解析】不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2...