基于Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布的欧式看涨期权定价分析余跃摘要：对于期权定价，Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定价公式基于对数收益率的正态分布假设，但相关研究表明对数收益率往往呈现尖峰厚尾特点，因而不完全是正态分布。把正态分布改为Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布，结合Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式的概率论推导方法，并类比Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式给出了类似于Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式的欧式看涨期权定价公式，它可以克服尖峰厚尾问题；最后结合一个具体实例，计算了Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定价、二项式定价与定价公式中图分类号：Ｆ８３文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－３１９８（２０１２）２０－００９近二三十年来，期权作为一种衍生金融工具在西方国家得以迅速发展，已经具有丰富的内涵和日益复杂的交易技巧。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。相对于正态分布假设，Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布和混合正态分布能够更好地模拟对数收益率，特别在尾部Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布比混合正态分布拟合（２）不存在交易成本或税负；（３）期权属于欧式期权；（４）股票的预期收益率和收益的标准偏差或易变性σ在整个期权有效期内是恒定的；（５）交易是连续进行的，所得证券是完全可分的，在衍生产品有效期内，不存在股息或红利；（６）不存在无风险套利机会，在衍生产品有模型建立设时间起点为０，终点为ｔ，Ｓ０为股票初始时刻价格，Ｓｔ２．２为期权到期日的股票价格，根据假设ｌｎＳｔ（Ｓ０）２σｓ（μ，，ｖ），～ｔ２，（，２，）ｌｎＳ＋ｔ（μ，σΓ（ｖ＋１）ｔμ＋ｌｎＳσ则，即Ｓｔ～ｅ，即Ｓｔ～ｅ０ｓｓ０２［１＋（ｘ－２期权到期日的预期价格为［（Ｓ－Ｘ０，）ｖ＋１Ｃ＝Ｅｍａｘ－ｆ（ｘ２］（）２ｖ＞２ｔｔΓ（ｖ）槡π（ｖ－（ｖ－为执行价格。２令ζ＝ｌｎＳｔ，则Ｓｔ＝ｅζ，其中ζ（μ，２，）。～ｔ＋ｌｎＳ０σ则称ζ服从参数μ，σ２和自由度ｖ的Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布，记Ｃｔ＝Ｅ［ｍａｘ（Ｓｔ－Ｘ，０）］＝Ｃｔ＝Ｅ［ｍａｘ（ｅ－Ｘ，ζ为ζ～ｔｓ（μ，σｖ２，），其中为伽马函数。Γ＋∞＋∞∫（ｅ－Ｘ）ｆ（ｙ）ｄｙ＝ｅｆｙ∫ｌｙ∫ｌｆ（ｙ）特别地，当μ＝０，σ＝１时，称其服从标准Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布。ｙｅ－Ｘ≥０－Ｃ２，定义２（Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布的累积分布函数）若ζ服从标准其中ｆ（ｘ）为ζ的密度函数。对价格进行折现后Ｃ＝ｅＣｔ。先看Ｃ２，据定理４和定－ｒΓ（１）理可得：５２ｘ］２ｙ－ｖ＋１Ｔ（ｘ）［１＋（ｖ－ｄｙ＋∞ｌｎＣ２＝Ｘ∫ｆ（ｙ）ｄｙ＝Ｘｆ（ｙｖ∫－∞－∞Γ（）槡π（ｖ－２ｌｎｌｎＸ＝Ｘ·Ｔ－（－）为Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布的累积分布函数。由上述定义，易得以下定理：σｖ（ｌｎ）定理１若ζ～ｔｓ（μ，σ，ｖ）则Ｅζ＝μ，Ｄζ＝σ。２２＝Ｘ·ｔ－槡ｖ－２σ定理２分布。定理若ζ～ｔｓ（μ，σ，ｖ），则当ｖ→∞时ζ趋向于正态２若用Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式中的参数代替上面的参数，即σ２－μ→μｔ，σ→σｔ，且变换后μ＝ｒ－２２，则若ζ～ｔｓ（μ，σ，ｖ），则标准化变量η＝ζμ２～ｔｓ２σ２Ｓ０２，）σ（０，１，ｖ），ψ＝ζ＋ｂ～ｔｓ（μ＋ｂ，σ烄ｌｎ＋）ｔＣ２＝Ｘ·ＴＸ２２定理４若ζ～ｔｓ（μ，σ，ｖ），σ槡ｔｘ－ｕＰ（ζ≤ｘ）＝Ｔ（）＝ｖｘ－ｕ）烆烎２槡ｖ－２σ，Ｓσσ烄烌０ｖｌｎ＋（ｒ－）＝Ｘ·其中ｔ（ｘ）为自由度为ｖ的ｔ分布的累积分布函数。定理５Ｔ（－ｘ）＝１－ＴＸ２烆槡ｖ－２σ槡ｔ烎２基于Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布的欧式看涨期权定价公式（槡ｖ－２２），ｖｄ＝Ｘ·Ｔ（ｄ）＝Ｘ·ｔ模型假设２２．１注意到若ζ～ｔｓ（μ，σ，ｖ），则当ｖ→∞时，ζ趋向于正态２σ２Ｓ０ｌｎ＋）ｔ分布，且Ｅζ＝μ，Ｄζ＝σ２为此我们仍然采用Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式的一些假设，并采用相同的参数，只不过改动一下股票价格的分布。（１）股票价格的对数收益率服从参数μ，σ２和自由度ｖ的Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布（这里先假设为一般字母，后面...