天津市南开翔宇学校2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题1．函数的单调递增区间是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，即可得到结论．解：由，可得或，所以函数的定义域为，又的单调减区间是，在上单调递减，∴函数的单调递增区间是．故选．2．在中，“”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】提示：由题意看命题与命题“”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．提示：此题只要考查三角函数的性质及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．解：由，得：或，∴推不出，而，∴“”是“”的必要不充分条件．故选．3．已知，则的值是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】．4．奇函数满足，且当时，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，∴是以为周期的奇函数，又 ， ，∴，∴．故选．5．函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，，，则，，之间的大小关系为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】解：构造函数，则函数单调递减， ，，，，∴．故选．6．定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】A123411234123xyO因为当时，，所以时，，所以，此时，故，，所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，，其中，所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是．故选．二、填空题7．几何体三视图如图所示，其中俯视图为边长为的等边三角形，则此几何体的体积为__________．12正视图侧视图俯视图【答案】【解析】根据几何体的三视图可以判断直观图为111EABCA1B1C1它是从棱柱正三棱柱上切掉几何体后剩余的几何体．可以将该几何体分为棱锥和棱锥．其中．点到面的距离为正三角形的高，所以．两者加起来得到．8．函数的定义域是__________．【答案】，【解析】解：由，得，计算得出：，．∴函数定义域为，．因此，本题正确答案是：，．9．已知角为三角形的一个内角，且，则__________，__________．【答案】，【解析】 为三角形一个内角，∴，∴， ，∴，∴，．10．函数的部分图象如图所示，则和的值分别是__________．2π12π611π125π12xyO【答案】，【解析】 ，∴，∴，∴．当时，且，∴．∴，．11．函数的最小正周期为__________．【答案】【解析】．∴．12．若在上是减函数，则实数的取值范围__________．【答案】【解析】 ，定义域为，∴， 在上是减函数，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即，所以．即的范围为．三、解答题13．已知函数．（）求的最小正周期．（）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（）．（）最大值为，最小值为．【解析】（），∴．（） ，∴，∴时，即时，取最小值为，时，即时，取最大值为．14．设函数的图象的一条对称轴是直线．（）求．（）求函数的单调递增区间．【答案】（）．（），．【解析】（） 是的图象的对称轴，∴，∴，∴，又 ，∴．（），当时，即，单调递增，∴单调增区间为，．15．已知，函数，当时，．（）求常数，的值．（）设且，求的单调区间．【答案】（），．（）单调递增，单调递减．【解析】（） ，∴，∴，∴，，，又 ，∴，∴．（）， ，∴，∴，，∴时，即时，单调递增，时，即时，单调递减．17．已知是奇函数．（）求的值．（）讨论的单调性．【答案】（）．（）时，与内减函数，时，与内增函数．【解析】（） 是奇函数，∴，对定义域内的任意恒成立，∴，∴，．当时，，函数无意义，∴．（）由（）知，，∴定义域为，求导得，（）当时，，∴在与内都是减函数；（）当时，，∴在与上都是增函数．18．现有名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过投掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为或的人去参加甲类活动，掷出点数大于的人参加乙类活动．（）求这个人中恰有人去参加甲类活动的概率．（）用，分别表示这个人中去参加甲、乙两类活动的人数，记，求...