向量范数函数的单调递减性质傅绪加^二吴红光I(1淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北2350002南京理工大学理学院,江苏南京210094)摘要：在有限维实向量空间口"中，用两种方法证明了仃范数函数(/7>0)的单调递减性质，并应用此性质，简洁明了地证明了任意两个乙范数(/7>1)之间的等价性。关键词：向量空间，向量范数，单调递减性中图分类号：0151.21文献标识码：C文章编号：在冇限维实向量空间中，可以引入不同的范数，使Z成为不同的赋范空间“宀，常用的范数有仃范数(p>l),如厶范数、厶范数、匚范数叭由于范数满足齐次性与三角不等式性八21,故范数可视为是定义在向量空间上的凸函数，很多工程问题最终可归结为相应的赋范空间中的仃范数极小化或仃范数正则化问题口役近年来，此类问题在机器学习、反问题、图像处理、结构化稀疏表示、压缩感知等领域®引广受关注。探究向量仃范数的冇关性质，仍具有意义。对于不同的“ni值，空间口"中向量的-范数实际上给出了向量长度或模的不同度量方式，它们Z间具有某些联系，如等价性，见本文定义2与定理3。在仃范数的定义式中取pe(O,l)时，所得到的实函数并不是向量空间口何(A^>2)中的向量范数，详见本文的定义1及其说明，但是，此时的仃极小化问题或正则化问题(pe(0,l))却有诸多有趣的性质⑹。本文主要讨论向量不同范数之间的大小关系，主要结论为定理1与定理2。为了文章的完整性，本文内容安排如下，在第1节中引入相关记号并给出主要结论之一即定理1;为了在第3节清晰表述泄理1两种证明方法，并引出定理2,先在第2节给出相关预备知识；最后，在第4节给出定理1的一个简单应用，即用此定理的结论证明任意两种常用—范数(p>l)之间的等价性。1、主耍结论在有限维实向量空间口“中，/VeD+(D+为正整数集)，向量x=(心兀2,…,、1/"’基金项目：淮北师范人学教研项目(JY10227)；淮北师范人学青年研究项目(2012xq56)；安徽省高等学校省级自然科学研究项日(KJ2013B252)。作者简介：傅绪加(1978-),男，淮北师范大学讲师，南京理工大学在读博士生；研究方向：图像建模与分析，Email：fxi068@£mail.com；吴红光(1989-),男，淮北师范大学2010级应用数学专业班；为它不能满足范可被赋予一范数⑴:关系式:x=limx^=1-max8\因为=l有pT8阳｝,其中pe[l,oo),且有并不是向量的范数,PT8<max•max1/p<Nl/p当/7G(0,l),且N»2时,tmax\<k^N数公理中的三角不等式原则“⑵，但为表述方便，在不引起混淆的情况下，仍称之为向量的范数，并给岀如下概念：定义1（仃范数、范数函数）：在向量空间口N中，Nw口+,称|£忑I"‘严（0严）X厂严丿max|xk|，p=g\<k<NLK」为向量X的仃范数；称实函数/（P）=||x||/?,pe（0,oo］为向量X的范数函数。在定义1中，采用pe（0,oo］iQ法是为表述之便。要说明的是，当厂（0,1）,且N>2时，仃范数并不是真的范数，也不是口“上的凸函数；但对于N=\,公式⑴中一维向量x={x］的所有仃范数（pe（0,oo］）均为常数值卜|,也均为真的范数。对于任意给定的向量XGD^,NEQ+,范数函数/（〃）在区间（0严）内连续可微，因为它可看成是由有限多个基本初等函数经过有限多次复合而组成的初等函数，并且有以下单调性质：定理1：范数函数/（p）=||x||^在区间（0,oo］±单调递减，XW0N,例如，取定X,=（1,0,---,0）GD“吋，/（P）=||x1||/?=1为常值函数；取定X2=（1,1,---,1）GD/V时，/3）=収2||〃=刚"为常值函数（2=1）或为严格单调递减函数（NA2）。定理1实际上描述了向量x的不同-范数（p>0）Z间的大小关系。2、预备知识引理1：设实函数/（兀）在非空区间Uu口上连续，且在冇理数集t/nn上单调，则函数/（兀）在区间（/上单调。证明：仅针对单调递减情形用反证法证明，类似可证明单调递增情形。假设函数/•（*）在uno上单调递减，但函数/（兀）不在区间U上单调递减，即3xpX2GU,Xj<x2,使得/（x2）o记q=*（于（兀2）_/（兀1））〉0，由函数/（x）在区间U上连续可知，存在足够小的正数^,<-（x2-x,）,使得2|/（x）-/（xJ|<£0,（忑一玄,母.+Q）uU,k=1,2（2）任取有理数耳0（忑-氏,忑+a）rw（如果壬或兀2位于区间u的端点处，只要在其相应的单侧邻域取相应的有理数瓦即可），由式（2）中的...