3．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质3．4.1三角函数的周期性[学习目标]1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．[知识链接]1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2π个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．2．设f(x)＝sinx，则sin(x＋2kπ)＝sinx可以怎样表示？答f(x＋2kπ)＝f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现．[预习导引]1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x知y＝sinx与y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期T＝.要点一求正弦、余弦函数的周期例1求下列函数的周期：(1)y＝sin(x∈R)；(2)y＝|sin2x|(x∈R)．解(1)方法一令z＝2x＋， x∈R，∴z∈R.函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π.方法二f(x)＝sin的周期为＝π.(2)作出y＝|sin2x|的图象．由图象可知，y＝|sin2x|的周期为.规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或y＝Acos(ωx＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式T＝来求解．②对于形如y＝|Asinωx|(或y＝|Acosωx|)的周期情况常结合图象来解决．跟踪演练1求下列函数的最小正周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝sinx；(3)y＝2sin.解(1)定义法：令u＝2x，则cos2x＝cosu是周期函数，且最小正周期为2π.∴cos(u＋2π)＝cosu，则cos(2x＋2π)＝cos2x，即cos[2(x＋π)]＝cos2x.∴cos2x的最小正周期为π.公式法： ω＝2，∴T＝＝π，故y＝cos2x的周期为π.(2)如果令u＝x，则sinx＝sinu是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin＝sin，即sin＝sinx.∴y＝sinx的最小正周期是4π.(3) 2sin＝2sin，即2sin＝2sin.∴y＝2sin的最小正周期是6π.要点二正弦、余弦函数周期性的应用例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．解 f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f f(x)是R上的偶函数，∴f＝f＝sin＝.∴f＝.规律方法解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．跟踪演练2若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．解因f(x)是以为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f＝－1.1．函数y＝sin(4x＋π)的周期是()A．2πB．πC.D.答案C解析T＝＝.2．下列函数中，周期为的是()A．y＝sinB．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝cos(－4x)答案D解析T＝＝.3．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2014)等于()A.B．2C．2013D．2014答案B解析因为f(x＋6)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2014)＝f(4)＝＝2.4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.答案－2解析 f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x)．∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，...