第三单元函数微专题平面直角坐标系中几何图形的存在性问题综合训练1.如图，已知直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋2x＋c相交于点A(－1，0)和点B(2，m)两点(1)求抛物线的函数表达式；(2)在x轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2.如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－3)交x轴于A、C两点，交y轴于点B，且OB＝2CO.(1)求点A、B、C的坐标及抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线解析式；(2)E为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在一点D，使得以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4.如图，抛物线y＝－x2＋6x－5与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BC于点E.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图参考答案综合训练1.解：(1) 点B(2，m)在直线y＝x＋1上，∴m＝2＋1＝3，∴点B坐标为(2，3)， 点A(－1，0)和点B(2，3)在抛物线y＝ax2＋2x＋c上，代入得，解得，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)设点Q坐标为(n，0)， A(－1，0)，B(2，3)，∴QA2＝(－1－n)2，QB2＝(2－n)2＋9，AB2＝18，①当QA2＝QB2时，(－1－n)2＝(2－n)2＋9，解得n＝2，即Q(2，0)；②当QA2＝AB2时，(－1－n)2＝18，解得n＝－1±3，即Q(－1＋3，0)或(－1－3，0)；③当QB2＝AB2时，(2－n)2＋9＝18，解得n＝－1(舍)或n＝5，即Q(5，0)；综上，Q的坐标为(2，0)或(－1＋3，0)或(－1－3，0)或(5，0)．2.解：(1)对于抛物线y＝a(x＋1)(x－3)，令y＝0，得到a(x＋1)(x－3)＝0，解得x＝－1或3，∴C(－1，0)，A(3，0)，∴OC＝1， OB＝2OC＝2，∴B(0，2)，把B(0，2)代入y＝a(x＋1)(x－3)中得：2＝－3a，∴a＝－，∴二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋x＋2；(2)存在， A(3，0)，B(0，2)，∴OA＝3，OB＝2.由对称得抛物线的对称轴是直线x＝1，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，∴AE＝3－1＝2，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如解图①，当∠BAP＝90°时，点P1在AB的下方，第2题解图① ∠P1AE＋∠BAO＝∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠P1AE＝∠ABO. ∠AOB＝∠AEP1，∴△ABO∽△P1AE，∴＝，即＝，∴P1E＝3，∴P1(1，－3)；②如解图②，当∠PBA＝90°时，点P2在AB的上方，过P2作PF⊥y轴于点F，第2题解图②同理得：△P2FB∽△BOA，∴＝，即＝，∴BF＝，∴OF＝2＋＝，∴P2(1，)；③如解图③，以AB为直径作圆与对称轴交于P3、P4，则∠AP3B＝∠AP4B＝90°，第2题解图③设P(1，y)， AB2＝22＋32＝13，由勾股定理得：AB2＝PB2＋PA2，∴12＋(y－2)2＋(3－1)2＋y2＝13，解得：y＝1±，∴P3(1，1－)或P4(1，1＋)．综上所述，点P的坐标为(1，－3)或(1，)或(1，1＋)或(1，1－)．3.解：(1) 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(2)存在，理由如下： y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴对称轴为直线x＝1，如解图①，当四边形ECBD1为平行四边形时，第3题解图① D1E∥BC，D1E＝BC，∴xD1－xE＝xB－xC＝3， xE＝1，∴xD1＝4，∴D1(4，5)；如解图②，当四边形D2CBE为平行四边形时，第3题解图② D2E∥BC，D2E＝BC，∴xE－xD2＝xB－xC＝3， xE＝1，∴xD2＝－2，∴D2(－2，5)；如解图③，当四边形ECD3B为平行四边形时，第3题解图③ BE∥D3C，BE＝D3C，∴xB－xE＝xD3－xC＝2， xC＝0，∴xD3＝2，∴D3(2，－3)．综上所述，点D坐标为(4，5)，(－2，5)或(2，－3)．4.解：(1) y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(3，4)；(2)存在，设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)，对y＝－x2＋6x－5，令x＝0，解得y＝－5，令y＝0，解得x＝1或5，∴A(1，0)，B(5，0)，C(0，－5...