平面向量基本定理的本质就是基本量思想江苏省泰州中学杨鹤云平面向量的基本定理为将未知向量同已知“基底”建立联系提供了理论依据，也是利用向量解决几何问题所必须具备的“基石”．对向量的基本定理我们应这样来理解：(1)该定理为向量的坐标表示奠定了理论基础，当基底是、且夹角为90°，||=||=1时，，其中即为向量的坐标，由于基底的方向、模各不相同，可建立多种坐标系为解决问题开拓了新的天地．(2)该定理另一层意思是可将任何一个向量在给出两个基底、的条件下进行分解．因此，基底其实就是表示一个平面内的所有向量的“基本量”．解决向量问题就要善于寻找合适的基底，并将题中所有向量用基底线性表示．下列通过实例说明探求用基本量表示已知向量的常用方法及其应用．例1如图1，已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，，，且||=2，||=1，||=3，试用、表示.析与解：以O为原点，为x轴正方向建立坐标系.由三角函数定义得，，A(2,0)，故=(2,0)，=，=，设，将、、代入建立方程组解得=-3，.所以.另解：作向量的相反向量，(如图2)过点分别作、平行线交、的延长线于A、B，则有且，，由平面几何知识得：=3，，所以.说明：坐标法与几何法是两种常用的探求线性表示向量的方法．例2如图三，已知四边形ABCD的边AD与BC的中点分别为E、F，求证：.析与解：连结、，则，又，∴.另解：取BD中点O，则，，BCAxOy(图1)OBCA(图2)EDCABF(图3)∴.例3(1)如图四，设P、Q是线段AB的三等分点，若，，试用、表示向量、；(2)在(1)中，当点P、Q三等分线段AB时，有，如果点A1,A2,…An-1是AB的n(n≥3)等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论.析与解：(1)∵，∴(2)由(1)知，∵，①∴②由①+②得结论1：结论2：由①式得：用平面内不共线的两个向量、，可以表示出该平面内的任何一个向量，这是用向量解题的基本功．在处理这类问题时，除了正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意如下解题规律：①尽可能把要用、表示的向量，连同、向量在同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解；②要充分利用平面几何的一些定理、性质，善于发现相等向量、共线向量及相反向量，从而使所求向量与已知向量建立直接联系；③要注重方程思想的应用，有时可以正难则反用所求向量表示已知向量，建立方程后，解方程即可求出未知向量．OBQPA(图3)