精品文档基本不等式导学案杨坤中大附中高一年级组：１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；学习目的２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解3决实际问题的能力与意识．学习重点：基本不等式的证明及简单应用学习方法：类比归纳，数形结合。学习过程：一、学习准备会标是根据中国3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，如图代表中国人古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学习探究．4-1-11．命题的探究图33-4-1-1思考：观察图上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（1）．个直角=__________;4假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长（2）．；四个直角三角形面=__________三角形面积之和=__________；外正方形面积___；积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______图形内部小正方形）．假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，（3和之面积=__________;4边长个直角三角形此变成什么？时外正方形；四个直角三角形面积之和与外正方=__________=__________；外正方形面积__________形面积大小关系如何？用等式表示为：；四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一．综上，（4）__________个不等式表示：ba上不等式可变形为a、b>0a5（）．如果>0且b用和代替不等式中的?）（__________；ba?ba,ab为b,为a我们称的算术平均数，称?的几何平均数，因而，2．______________________________此不等式又可叙述为：我们再从图*）我们是几何图形的面积关系得出的，（对于不等式3.4-1-2观察它的几何意义。精品文档．精品文档●观察思考，，AC=aC使a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点图3.4-1-2是以长为的弦DD′．CB=b过点C作垂直于直径AB思考：．圆的半径r=__________；1BCD相似吗？BD，则△ABD是直角三角形吗？△ACD与△2.连接AD、a用、b表示半弦CD=__________；什么时候才能相等？r与半弦CD大小关系如何?3.圆的半径__________;用一个不等式表示：。4．用一句话描述半径与半弦的不等关系：_____________________b?aab的等比b看作是正数a、5．如果把看作是正数ab、的等差中项，2。中项，那么该定理可以叙述为：______________________________●归纳概括，__________________且b>0时有不等式：由上面的探究，一般的，当a>0．我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）．命题的证明222y?x2??xy0(x∈R，－y),证法一：x，y?2________时，等号成立．当且仅当22yx?ba?________________xy,令,x=所以,y=?2当且仅当________时，等号成立．20y)出发推导R，(x－y[评析]证明一是从一个已知成立的不等式x，∈?出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？证法２：（作差法）证法３：（分析法）精品文档．精品文档a?b22适用的范围，a,b有什么不同？想一想：ab?abab?2?与23.例（直接利用基本不等式）教材P99例1（1）（2）4.归纳：1.和为定值积有_____2.积为定值和有_____3.取等号的条件_____练习：教材P1001，2,35.课堂小结：（1）两个不等式(2)两个结论（3）三个注意三、学习反思：1.本节课推导并证明均值不等式的方法是什么？2.运用均值不等式的条件有哪些？均值不等式有哪些变形？3.本节均值不等式解决了哪些问题？需要注意什么？精品文档．精品文档基本不等式的课后拓展22b2ba?a?例：时，?0?0,?ab??b当a1122?bayx≥都是正数，求证：2练习、（1）?yx,xyb?cc?aa?b（2）6???b,c都是正数，求证：设a,abc222?ab?bc?R,求证：a+bca+c,a,bc?(3)25的最小值4（）若，求0?x?4xf(x)?x11的最小值，求，满足（5）已知?1?yx?200,x?y?yx196（）若x>0,y>0,求x+3y且的最小值．,1??yx13（7求,x>0,y>0,）若3x+y的最小值．且3??yx精品文档．精品文档2?最小值求函数)(0,??siny?x,x）8（sinx精品文档．