浅谈二次函数在高中阶段的应用-中学数学论文浅谈二次函数在高中阶段的应用朱有祥（南京江宁中等专业学校，江苏南京211100）摘要：初中课本中关于函数的论述是比较浅的，特别二次函数，只是定性地给出一些结论。进入高中后，函数的概念更加严格，二次函数也以多种形态出现，怎样透彻地理解二次函数是学好数学的关键。关键词：函数的概念；二次函数；应用中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0009-01一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+1)。这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设f(x+1)=x2-4x+1，求f(x)。这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1，∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而f(x)=x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b/2a］及［－b/2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。（1）y=x2+2|x－1|－1（2）y=|x2－1|（3）=x2+2|x|－1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。类型Ⅳ：设f(x)=x2－2x－1在区间［t，t+1］上的最小值是g(t)。求：g(t)并画出y=g(t)的图象解：f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2当1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g(t)=－2当t＞1时，g(t)=f(t)=t2－2t－1当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2－2首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维类型Ⅴ：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足0x1x21/a。(Ⅰ)当x∈(0，x1)时，证明xf(x)x1。(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0x/2。解题思路：本题要证明的是xf(x)，f(x)x1和x0x/2，由题中所提供的信息可以联想到：①f(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程f(x)－x=0可变为ax2+(b－1)x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：(Ⅰ)先证明xf(x)，令f(x)=f(x)-x，因为x1，x2是方程f(x)-x=0的根，f(x)=ax2+bx+c，所以能f(x)=a(x－x1)(x－x2)因为0x1x2，所以，当x∈(0，x1)时，x－x10，x－x20得（x－x1）（x－x2）0，又a＞0，因此f(x)＞0，即f(x)-x＞0.至此，证得xf(x)根据韦达定理，有x1x2=c/a， 0＜x1＜x21/a，c=ax1x2x=f(x1)，又c=f(0)，∴f(0)f(x1)，根据二次函数的性质，曲线y=f(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=f(x)在闭区间［0，x1］上的最大...