双模量梁的辛弹性力学解答#赵慧玲，叶志明**（1.上海大学土木工程系2.上海市应用数学和力学研究所，上海，200072）5101520摘要：采用弹性力学辛体系求解拉压弹性模量不同的双模量梁的应力与位移。求解中，通过引入对偶的二类变量，将拉梅方程化成哈密顿对偶方程，分离变量，求得零本征值的本征解，从而同时求出双模量梁位移和应力的解析解。辛弹性力学方法求解可以较好地处理各种边界条件，因此对静定与静不定问题均可以求解。关键词：双模量；辛弹性力学；解析解中图分类号：O343.5SymplecticElasticitySolutionofBi-modulusBeamsZHAOHuiling,YEZhiming(1.DepartmentofCivilEngineering2.ShanghaiInstituteofAppliedMathematicsandMechanics,Shanghai,200072)Abstract:Thesymplecticsystemofelasticmechanicsisemployedtosolvethestressanddisplacementofthebi-modulusbeamswithdifferentYoung’smodulusintensionandcompression.Inthispaper,theanalyticsolutionsofthebi-modulusbeamarebasedontheeigensolutionsofzeroeigenvalueoftheHamiltoncanonicalequationtransformedfromtheLameEquationsbymeansofintroducingthecanonicaltwovariables.Thesymplecticelasticmechanicsmethodcanbeusedtodealwithvariousboundaryconditions,sothestaticdeterminateandindeterminateproblemscanbesolved.Keywords:bi-modulus;symplecticelasticity;theanalyticsolution250引言双模量材料具有不同的拉压弹性模量，双模量弹性体中各点的弹性常数不仅依赖于材料本身，还依赖于各点的应力、应变状态，会随着结构材料、形状、边界条件及外载荷的改变而改变[1]。目前，一些学者对双模量材料梁的理论解析解进行了研究。姚文娟[2]基于平截3035面假定、纵向纤维间无挤压应力假定，采用材料力学知识对双模量横力弯曲梁进行了中性层的判定，并给出了应力与位移的解析解。何晓婷等[3]放弃平截面假定，采用半逆法，推导了均布荷载下双模量简支梁应力与位移的弹性力学解析解。采用弹性力学半逆解法和应力函数法可以得到一些双模量梁问题的解析解答，但是这样一类变量的解法也存在不足，根据由应力分量采用几何方程与物理方程求解出的位移分量在拉压交界面不统一，即位移不连续。对拉压交界面的连续条件因为辛弹性力学中采用了对偶的二类变量，拉压界面的连续条件容易满足，可以求得统一形式的位移分量。文献[4]~[6]采用辛弹性力学求解体系对相同拉压模量的矩形梁的问题进行了研究，但目前尚无关于双模量梁辛弹性解答的相关文献报道。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20103108110019）作者简介：赵慧玲，女，博士后，主要研究方向：拉压不同模量弹性理论通信联系人：叶志明，男，教授，主要研究方向：工程力学、计算力学.zmye@staff.shu.edu.cn-1-1x11xz10x1xz112xz20x2xz21辛体系Hamilton对偶方程及分离变量法401.1矩形梁基本方程如图1所示的不同拉压模量矩形截面梁，0zl，0xh，截面宽度为单位截面宽度，其中l比较大。Fx10Fz1lzx1hxFz2Fx2图1不同拉压模量矩形梁Fig.1Thebi-modulusbeamwithrectangularcrosssection45假定该不同模量矩形梁由平行于z轴的中性层分为“1”、“2”两个区，代表拉、压区或压、拉区，其中0xx1为1区，x1xh为2区。参考文献[姚文娟2004]，x1hE2/E1E2。E1、E2分别为1区和2区的弹性模量，1、2分别为1区和2区的泊松比。1区应力与应变的关系为：50E1z1E1E11E10002(11)E1z1（1.a）2区应力与应变的关系为：E2z2E2E21E20002(12)E2z2（1.b）不同拉压模量矩形域仍满足下列方程：应变余能密度55112E1Ez22Exz2(1)E（2）应变与位移关系zwz，x...