2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点6基本不等式教材知识梳理基本不等式1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数．2．变形：当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)．基本不等式≤(a，b≥0)求最值应注意：(1)a，b是正数．(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．利用基本不等式解决实际问题的步骤在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．一正：a，b均为正数；二定：不等式一边为定值；三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．例题研究一、利用基本不等式求最值题型探究例题1已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题中条件，利用基本不等式，求出的最小值；得到，求解，即可得出结果.例【详解】因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.例题2在上定义运算，时，不等式有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解.【详解】由题意可得在上有解，所以即在上有解，又，当且仅当时，等号成立，所以在的最大值为，所以实数的取值范围是.故选：A.【点睛】考查了基本不等式的应用及有解问题的解决跟踪训练训练1已知点A（1，2）在直线ax+by1﹣＝0（a＞0，b＞0）上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式≤m2+8m成立，则实数m的取值范围是（）A．（-∞，-1][9∪，+∞）B．（-∞，-9][1∪，+∞）C．[-1，9]D．[-9，1]【答案】B【分析】根据点在直线上得a+2b＝1，利用＝（a+2b）（）＝5+以及基本不等式可得解.【详解】因为点A（1，2）在直线ax+by1﹣＝0（a＞0，b＞0）上，所以a+2b＝1，所以＝（a+2b）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当a＝b＝取得等号，即最小值9，则9≤m2+8m，解得m≥1或m≤-9．故选：B．【点睛】考查了利用基本不等式求最值训练2不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是()A．x＝5B．x＝－3C．x＝3D．x＝－5【答案】A【分析】根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立.【详解】当时，，等号成立的条件是，，解得：.故选A.【点睛】考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，常用不等式包含，，.二、基本不等式的应用题型探究例题1已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（）A．函数有最小值2B．函数有最小值C．函数有最大值-2D．函数有最大值【答案】C【分析】不等式可因式分解得，由解集为，可知，，代入函数，利用基本不等式，计算即得.【详解】由题得，的解集为，则，函数，又，则，故，当且仅当，即时，取得等号，函数有最大值.故选：【点睛】考查利用基本不等式求函数的最值，是常考题型.例题2下列说法中错误的是（）A．不等式恒成立B．若，则C．若，满足，则D．存在，使得成立【答案】A【详解】对A，若，则不等式不成立，故A错；对B，若，则，故B正确；对C，若，满足，则，故C正确；对D，若，使得成...