幻灯片1§15.3收敛定理的证明Dini定理设以2为周期的函数f在区间[,]上按段光滑,则在每一点[,]x,f的Fourier级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即01(0)(0)cossin22nnnfxfxaanxbnxnnabf其中和为的Fourier系数.1()cosfxnxdx1()sin.fxnxdx(1)幻灯片2证明思路:01()cossin.2nnnafxanxbnx设我们要证明,[,],x对每个(0)(0)()2nfxfxSx(0)(0)lim02nnfxfxS即证明,方法是,把极限表达式化为积分,-利用RiemannLebesgue定理(推论2),证明相应积分的极限为零.(2)1/26幻灯片3施证方案:01()=cossin2nnkkkaSxakxbkx.写出的1简缩形式.sin121()()2sin2nntSxfxtdttSn()xDirichlet的积分形式或积分,利用该表示式(0)(0)()2nfxfxSxsin12(0)(0)1()22sin2ntfxfxfxtdtt(3)2/26幻灯片40sin12(0)1()22sin2ntfxfxtdtt0sin12(0)1()22sin2ntfxfxtdtt于是把问题归结为证明0sin12(0)1lim()022sin2nntfxfxtdtt0sin12(0)1lim()022sin2nntfxfxtdtt和(4)与(5)式的证明是相同的,只证(4).(4)(5)幻灯片52.为证上述第一式,先利用三角公式sin121coscos2cos22sin2nn0sin1211,sin2ntDirichletdtt建立积分(0)2fxDirichlet利用该式把表示为积分0sin12(0)1(0)22sin2ntfxfxdtt1于是,又把上述中(4)式左端化为(6)幻灯片60sin12(0)1lim()22sin2nntfxfxtdtt0sin12lim1(0)()2sin2nntfxfxtdtt3.把以上最后的式子,化为Riemann-Lebesgue,应用定理的形式即令(0)()(),(0,]2sin2fxfxtttt0sin12lim1(0)()2sin2nntfxfxtdtt则0lim1()sin12ntntdt幻灯片74..RiemannLebesgue利用定理,证明上述极限为零00lim1()sin120ntntdt即证,为此先证明Bessel不等式,RiemannLebesgue再建立定理,,要证最后这一极限等于零RiemannLebesgue由定理,()[0,]t只要函数在区间上可积,(00)因此希望存在,[,]f由函数在区间上按段光滑,(00)可以验证存在.(7)幻灯片8预备定理及其推论:为实施以上证明方案,我们先建立以下预备定理和其推论.()1Bessel预定理不等式备[,],f若函数在区间上可积:则有Bessel不等式2222011()()2nnnaabfxdxnnabf其中和为函数的Fourier系数.(8)幻灯片9证:01()cossin2mmnnnaSxanxbnx令[,],f在可积考察积分2()m()fxSxdx-22()2()()()mmfxdxfxSxdxSxdx---f2()xdx-012()cossin2mnnnafxanxbnxdx-201cossin2mnnnaanxbnxdx-幻灯片10f2()xdx-012()()cos()sin2mnnnafxafxnxbfxnxdx-2222201cossin2mnnnadxanxdxbnxdx---f2()xdx-222012()2mnnnaab22201()2mnnnaab幻灯片112mfS-222201()2mnnnfaab-022220111()2mnnnaabf-即()有限常数22201().2nnnaab正项级数的部分和数列有界,它收敛2222011:()().2nnnaabfxdx且有//幻灯片12(-1)RiemannLebesgue推定理论[,]f若函数在区间上可积,则有:lim()cos0,nfxnxdxlim()sin0.nfxnxdx证明:1,由预备定理22201().2nnnaab知级数收敛220,nnab0,0.nnab即且//.[2,],:f若函数在区间...