高等代数上试题

高等代数(上)试题一、(15分)设数域,1、记(其中两两不同),由定义了上的映射,验证是单射但非满射,并求上的映射使(是满射但非单射);2、由定义了上的映射,求上的映射使,并说明是什么类型的映射及与的关系。二、(10分)设M=,其中A、B、C、D均为n阶方阵,A可逆,讨论M的求逆问题:给出M可逆的充分条件(计算中所需要的),并当M满足这一条件时求M的逆矩阵(由A、B、C、D来表示)三、(10分)证明若,则,并指出两不同的使此不等式取等号的充分条件。四、(15分)设A、B、均为n阶方阵,r=r,r=s,证明rr+s及rmin{r,s}。五、(25分)讨论线性方程组(n为偶数,)当a在什么范围取值时有解,并当n=4时求对应全部解(当有无穷多解时表示成“特解”与“基础解系”的组合形式)。六、(10分)计算n阶行列式()(计算中可记)。七、(15分)验证按矩阵的加法与数乘构成一线性空间,求V的一组基与维数及在这组基下的坐标。八、(20分)1、简述线性方程组、向量、矩阵及行列式各概念之间的主要关系;2、简述齐次线性方程组的基础解系概念及构造要点。

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