江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练2018.1题型二实际应用题1.如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2．设∠AOC＝xrad．(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．(1)因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝xrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．……………2分在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．……5分从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．…………………7分ABOCD2.如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，FABEDGC←南居民楼活动中心即，则由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为，令，得米米.所以此时能保证上述采光要求.（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得.所以.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大.方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－＝－(x－30)，即．由直线与半圆H相切，得．而点H(r，h)在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，即，从而．又.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大.3.已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记∠PAB=θ．（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最大值；（2）若BC=1，求•的最大值．解：（1） ，∴∠BAC=；由∠PAB=θ得∠CAQ=；∴S四边形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ===； ，∴当时，S四边形PBCQ取得最大值；（2）当BC=1时，∠BAC=，∠PAC=；∴==1﹣===； ；∴时，取得最大值．4.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．（1）在中，，且，，LABOMLL由余弦定理得，，即大学与站的距离为；（2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,即，，，，，，，又，，在中，，由正弦定理得，，即，，即铁路段的长为．5.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．解：（1） OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2， x＞y，∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是（1，）．（2）M=kOB=ky，N=4k•S△AOC=3kx，则N﹣M=k（3xy﹣）=k（3x﹣），设2﹣x=t，则t∈（，1），则N﹣M=k[3（2t﹣）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．6.在△ABC中，三个内角A，B，C...