课时28直线与圆锥曲线的位置关系模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则，两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B.2．已知椭圆＋＝1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA＝，则直线PB的斜率kPB为()A.B.C．－D．－【答案】D3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝xB．y2＝9xC．y2＝xD．y2＝3x【答案】D【解析】分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.【答案】C【解析】设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4×≤.5．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p>0，直线l经过抛物线C1的焦点，依次交抛物线C1，圆C2于A，B，C，D四点，则AB·CD的值为()A.B.C.D．p2【答案】A6．已知椭圆＋＝1，若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是()A．(－，)B．(－，)C．(－，)D．(－，)【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y,3x＋4y＝12①，3x＋4y＝12②，①②两式相减得3(x－x)＋4(y－y)＝0，即y1＋y2＝3(x1＋x2)，即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，而M(x，y)在椭圆的内部，则＋<1，即－<m<.7．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．【答案】8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】(，)【解析】设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴<c<， e＝＝＝1－，且<1－<，∴该椭圆的离心率的取值范围是(，)．9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程．【解析】(1)由已知2a＝6，e＝＝，解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得，(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，10．椭圆G：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆G上一点，且满足F1M·F2M＝0.(1)求离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5.(ⅰ)求此时椭圆G的方程；(ⅱ)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．【解析】(1)设M(x0，y0)， M在椭圆G上，∴＋＝1，①又F1M·F2M＝0，∴(x0＋c，y0)·(x0－c，y0)＝0.②由②得y＝c2－x，代入①整理得x＝a2(2－)．又0≤x≤a2，∴0≤a2(2－)≤a2，解得()2≥，即e2≥，又0<e<1，∴e∈[，1)．(2)(ⅰ)当e＝时，设椭圆G的方程为＋＝1，H(x，y)为椭圆上一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18，其中－b≤y≤b.[新题训练]（分值：15分建议用时：10分钟）11．（5分）当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是________．【答案...