6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.会实数与向量积的坐标表示2.记住两个向量共线的坐标表示3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题【自主学习】知识点1平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则知识点2两个向量共线的坐标表示(1)向量a，b共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)向量共线的坐标表示的推导①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0.②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.【合作探究】探究一平面向量数乘运算的坐标表示【例1】已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．解a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5,－3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).归纳总结：1相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组.2进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.【练习1】已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.解(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝.探究二两个向量共线的坐标表示【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[分析]先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．[解]因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，又(ka＋b)(∥a－3b)，故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－.这时ka＋b＝，且a－3b与－a＋b的对应坐标异号，故当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．归纳总结：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.【练习2】已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c(2∥a＋b)，则λ＝.答案.解析：2a＋b＝(4,2)，因为c(2∥a＋b)，---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---所以4λ＝2，得λ＝.探究三三点共线问题【例3-1】已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；[解](1)证明： AB＝OB－OA＝(4,8)，AC＝OC－OA＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0，即AB与AC共线．又 AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线．【例3-2】设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解] AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.解得k＝－2或k＝11.归纳总结：一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用AB＝λAC；二是利用坐标运算.【练习3】如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．解：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． AB、BC共线，∴1×m－(－2)×1＝0，∴m＝－2.即当m＝－2时，A、B、C三点共线．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---探究四待定系数...
