考点33计数原理【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，x∈N*，n≥2.(1)设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；(2)设bk＝ak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求的值．规范解答(1)因为ak＝(－1)kC，当n＝11时，|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|＝C＋C＋C＋C＋C＋C＝(C＋C＋…＋C＋C)＝210＝1024.(3分)(2)bk＝ak＋1＝(－1)k＋1C＝(－1)k＋1C，(6分)当1≤k≤n－1时，bk＝(－1)k＋1C＝(－1)k＋1(C＋C)＝(－1)k＋1C＋(－1)k＋1C＝(－1)k－1C－(－1)kC.(7分)当m＝0时，＝＝1.(8分)当1≤m≤n－1时，Sm＝－1＋∑[(－1)k－1C－(－1)kC]＝－1＋1－(－1)mC＝－(－1)mC，所以＝1.综上，＝1.(10分)2、(2018南京、盐城一模）已知n∈N*，nf(n)＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想．第(2)问中为组合数求和问题，其中组合数前面的系数转化是关键，可以利用rC＝nC，也可以用导数来解决．规范解答(1)由条件，nf(n)＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC①，在①中令n＝1，得f(1)＝CC＝1.(1分)在①中令n＝2，得2f(2)＝CC＋2CC＝6，得f(2)＝3.(2分)在①中令n＝3，得3f(3)＝CC＋2CC＋3CC＝30，得f(3)＝10.(3分)(2)猜想f(n)＝C(或f(n)＝C)．(5分)欲证猜想成立，只要证等式nC＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC成立．证法1(数学归纳法)当n＝1时，等式显然成立．当n≥2时，因为rC＝＝＝n×＝nC，(7分)故rCC＝(rC)C＝nCC.故只需证明nC＝nCC＋nCC＋…＋nCC＋…＋nCC.即证C＝CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC.而C＝C，故即证C＝CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC②.由等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n可得，左边xn的系数为C.而右边(1＋x)n－1(1＋x)n＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1)(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)，所以xn的系数为CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC.由(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n恒成立可得②成立．综上，f(n)＝C成立．(10分)证法2(构造模型)构造一个组合模型，一个袋中装有(2n－1)个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余(n－1)个是编号为1，2，…，n－1的黑球．现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r个黑球((n－r)个白球)的n个小球的组合的个数为CC，0≤r≤n－1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC.另一方面，从袋中(2n－1)个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为C.故C＝CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC，余下同证法1.(10分)证法3(利用导数)由二项式定理，得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn③.两边求导，得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋…＋rCxr－1＋…＋nCxn－1④.③×④，得n(1＋x)2n－1＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)·(C＋2Cx＋…＋rCxr－1＋…＋nCxn－1)⑤.左边xn的系数为nC.右边xn的系数为CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC.由⑤恒成立，得nC＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC.故f(n)＝C成立．(10分)证法4(构造模型)由nf(n)＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC，得nf(n)＝nCC＋(n－1)CC＋…＋CC＝nCC＋(n－1)CC＋…＋CC，所以2nf(n)＝(n＋1)(CC＋CC＋…＋CC)＝(n＋1)(CC＋CC＋…＋CC)，构造一个组合模型，从2n个元素中选取(n＋1)个元素，则有C种选法，现将2n个元素分成两个部分n，n，若(n＋1)个元素中，从第一个里取n个，第二个里取1个，则有CC种选法，若从第一个里取(n－1)个，第二个里取2个，则有CC种选法，……，由分类计数原理可知C＝CC＋CC＋…＋CC.故2nf(n)＝(n＋1)C，(7分)所以f(n)＝·＝＝C.(10分)3、(2018苏锡常镇调研（二））已知函数f(x)＝(x＋)2n＋1(n∈N*，x∈R)．(1)当n＝2时，若f(2)＋f(－2)＝A，求实数A的值；(2)若f(2)＝m＋α(m∈N*，0<α<1)，求证：α(m＋α)＝1规范解答(1)当n＝2时，f(x)＝(x＋)5＝Cx5＋Cx4＋Cx3()2＋Cx2()3＋Cx()4＋C()5，(1分)所以f(2)＋f(－2)＝(2＋)5＋(－2＋)5＝2[C()124＋C()322＋C()5]＝2(5×16＋10×4×5＋25)＝610，所以A＝610.(3分)(2)因为f(x)＝(x＋)2n＋1＝Cx2n＋1＋Cx2n＋Cx2n－1()2＋…＋C()...