专题五利用导数证明函数不等式（二）本专题总结了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．模块1整理方法提升能力对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以下4种：方法1：利用换元法，化归为一个未知数方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明方法4：利用主元法，构造函数证明对数平均值不等式链我们将两个正数和的对数平均值定义为：，对数平均值不等式链为：．对数平均值不等式链的指数形式为：，其中．例1已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，证明：．【解析】（1）定义域为，．①若，则，在上递减．②若，即时，，在上递减．③若，即时，由，可得，由，可得或，所以在，上递减，在上递增．综上所述，当时，在上递减；当时，在，上递减，在上递增．【证明】（2）法1：由（1）知，存在两个极值点，则．因为，是的两个极值点，所以，满足，所以，，不妨设．，于是．构造函数，，由（1）知，在上递减，所以，不等式获证．法2：由（1）知，存在两个极值点，则．因为，是的两个极值点，所以，满足，不妨设，则，．，于是．设，则，构造函数，，则，所以在上递增，于是，命题获证．法3：仿照法1，可得，因为，所以，令，构造函数，由（1）知，在上递减，所以，不等式获证．【点评】、和之间的关系为，，我们可以利用其关系式对不等式进行消元，化归为只含有一个未知数的不等式．法1消去和留下，法2消去和留下，由于所证的不等式等价于，该不等式不含，因此法1比法2简单．由等价的不等式，容易联想到对数平均值不等式，将不等式进一步改造后，通过换元化归为只含一个未知数的不等式．例2已知函数，．（1）设，讨论曲线与曲线（）公共点的个数；（2）设，比较与的大小，并说明理由．【解析】（1）与的公共点的个数等价于与的公共点的个数．令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以在上的最小值为．当时，，当时，．当时，与没有公共点，即与没有公共点；当时，与有一个公共点，即与有一个公共点；当时，与有两个公共点，即与有两个公共点．（2）结论：，证明如下．法1：．令，则，即证．构造函数，则，所以在上递增，于是．命题获证．法2：．令，则，即证，该不等式等价于．构造函数，则，令，则，于是在上递增，所以，即，所以在上递增，于是．命题获证．法3：．令，，则，且不等式，令，，则不等式，这是与有关的常用不等式，命题获证．【点评】第（2）小问的不等式含有两个未知数、，其解题思路主要是利用换元法将两个未知数、化归为一个未知数，常见的换元手法有，，，．所证不等式为，这是对数平均值不等式的指数形式，法3通过换元将其转化为对数平均值不等式再进行证明．例3已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，如果对任意，，求的取值范围．【解析】（1）的定义域为．．当时，，所以在上递增；当时，，所以在上递减；当时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减．（2）不妨设，因为，所以由（1）可知在上递减，于是，于是对任意，等价于对任意，．法1：（分离未知数后构造函数）．构造函数，则只需证明在上是减函数．，要使在上是减函数，则在上恒成立，所以．令，则，由可得，由可得．所以在上递减，在上递增，所以当时，有最小值，于是的取值范围是．法2：（主元法）由可得，以为主元构造函数（），则．令，则是开口方向向下，对称轴为的抛物线，其．①若，则，此时，即，所以在上递减，于是，即．②若，则，此时有两个根，不妨设为、，且．由可得，由可得或．因为是任意的，不妨设，于是在上递减，在上递增，于是在上，有，即不成立．综上所述，的取值范围是．【点评】得到二元不等式后，有三种方法解决，一是分离未知数后构造函数，进而利用函数的单调性进行证明，二是利用换元法，把二元化归为一元，三是把其中一个元看成主元，进而再求导，法1是分离未知数后构造函数法，法2是主元法．例4已知函数有两个零点．（1）求的取值范围；（2...