中考数学重难点与圆有关的证明与计算试题演练

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专题十与圆有关的证明与计算1.(2019广西北部湾经济区)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.(1)求证：∠BAD＝∠CBD；(2)若∠AEB＝125°，求BD的长(结果保留π)．第1题图2.(2019天水)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．第2题图3.(2019张家界)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC.(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)当∠D＝30°时，求阴影部分面积．第3题图4.(2019百色)如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且于⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC.(1)求证：△ACD∽△ABO；(2)过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．(提示：(＋1)×(－1)＝1)第4题图5.(2019贵阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．(1)求证：OP∥BC；(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1.求⊙O的直径．第5题图6.(2019广安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．第6题图7.(2019黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：CE＝CF；(3)若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．第7题图8.(2019苏州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.(1)求证：DO∥AC；(2)求证：DE·DA＝DC2；(3)若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．第8题图参考答案1.(1)证明： AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又 ∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD；(2)解：如解图，连接OD. ∠AEB＝125°，∠AEB＝∠CBD＋∠ADB，又 ∠ADB＝90°，∴∠CBD＝125°－90°＝35°.由(1)得∠BAD＝∠CBD，∴∠BAD＝35°.∴∠BOD＝70°.∴BDl＝＝.第1题解图2.(1)证明：如解图，连接OC， OA＝OC，OD⊥AC，∴OD是AC的垂直平分线．∴PA＝PC.在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO(SSS)． PA是⊙O的切线，∴∠PCO＝∠PAO＝90°.又 OC为⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；第2题解图(2)解： PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又 BO＝CO，∠ABC＝60°，∴△OCB是等边三角形．∴∠COB＝60°. AB＝10，∴BO＝CO＝5.∴tan60°＝＝.∴CF＝5.3.(1)证明：如解图①，连接OC、BC. AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠DCB＝90°.又点E为BD的中点，∴CE＝BD＝BE.∴∠ECB＝∠EBC. OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠ECB＋∠OCB＝∠EBC＋∠OBC，即∠OCE＝∠OBE. BD与⊙O相切于点B，∴∠OBE＝90°.∴∠OCE＝90°.∴OC⊥CE. OC是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；图①图②第3题解图(2)解：如解图②，连接OC、OE.由(1)知∠ABD＝90°.∴∠A＋∠D＝90°. ∠D＝30°，∴∠A＝60°. ∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝120°. AB是⊙O的直径，AB＝4，∴OB＝2.∴S扇形BOC＝＝4π.在Rt△ABD中，tanD＝.∴BD＝＝＝＝12.∴CE＝BE＝BD＝×12＝6.∴S阴影＝S△OBE＋S△OCE－S扇形BOC＝OB·BE＋OC·CE－4π＝×2×6×2－4π＝12－4π.4.(1)证明： OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠AOC. ∠ADC＝∠AOC，∴∠AOB＝∠ADC.又 ∠BAO＝∠CAD，∴△ACD∽△ABO；(2)解： EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF. EF∥OC，∴AD⊥CO. OC＝3，∴OD＝3.∴CD＝＝3. △ACD∽△ABO，∴＝.∴＝.解得AE＝3. EF∥OC，∴△AEF∽△AOC.∴＝.∴＝.解得EF＝6－3.5.(1)证明：点A关于OP的对称点是点C，∴∠AOP＝∠COP. OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∠AOC＝∠OBC＋∠OCB，∴2∠AOP＝2∠B.∴∠AOP＝∠B.∴OP∥BC；(2)解：如解图，连接PC.第5题解图 CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC. ∠D＝90°，∴AD∥OC.∴∠A＋2∠AOP＝180°.由(1)知，∠AOP＝∠B，∴∠A＋2∠B＝180°①.在△AOP中，OA＝OP...

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