专题38离散型随机变量及其分布列、均值与方差一、考纲要求：1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.4.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．二、概念掌握及解题上的注意点：1.求离散型随机变量X的分布列的步骤：1）找出随机变量X的所有可能取值xii＝1，2，3，…，n；2）求出各个取值的概率PX＝xi＝pi；3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，超几何分布的特征：1）考察对象分两类；2）已知各类对象中个体的个数；3）从中抽取若干个个体，考察抽取到的某类个体个数X的概率分布.3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.4.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤1）理解X的意义，写出X可能取的全部值.2）求X取每个值时的概率.3）写出X的分布列.4）由均值的定义求EX.5）由方差的定义求DX.5.利用均值、方差进行决策的两个方略1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.2）若两随机变量均值相同或相差不大.则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.三、高考考题题例分析：例1.（2020全国卷I）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】见解析（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元， E（X）=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．例2.（2020北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【答案】见解析（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25=50部，第五类获得好评的有：800×0.2=160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）==0.35．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=，则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：ξ110P0.40.6E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．第二类电影：ξ210P0.20.8E（ξ2）=1×0.2+...