第二章Langevin方程与数值模拟问题：系统的作用量或Hamiltonian量为S平衡态分布为，（这里温度已吸收到S）。假设系统时处于一初始状态系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程对固定这里的t通常也是介观时间。如果没有随机力，平衡态为，即能量取极小值。如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动——花粉在液体中的运动一维解2222200tttttmmttvtveedtdtm如如，这便是随机行走。在布朗运动的方程中加入自身的相互作用可以理解为广义的Langevin方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。由于随机力的存在，Langevin方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化在数值模拟中应用较直观，Z=∴Langevin方程令∴方程的解是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关。也就是说，在t时刻，x遵从一个分布。物理量的平均值问题：的含义？答：必须对t之前的所有随机力做平均。 ∴ 又 ∴这里做分步积分时，假设另一方面Fokker-Planck方程∴显然思考题：试讨论为平衡态的条件第二节多自由度的Langevin方程和自由场这里是空间指标时空分立化∴∴关于Kernel练习：推导F-P方程，证明平衡态为。自由场动量变换∴关于Kernel的作用∴Kernel不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e.g.如，演化极慢，我们可取，则这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取可以达到“加速”的目的，是重合悬而未决的问题。第三节Langevin方程的路径积分表述生成泛函对的微商，可以得到任何物理量的平均值。恒等式对单自由度如果只有唯一解这恒等式对任意成立。作积分变换在积分号内，是的任意函数。但积分后，由于函数的作用，取的解。关键：令，则积分后为Langevin方程的解。i.e.由于函数的存在，这里的可以看成和无关。引入辅助场玻色场，费米场第四节复Langevin方程自然延拓注意:保持为实数。问题：这样的Langevin方程是否给出平衡态分布?引入复分布，令注意：这里为实数形式上不难推导假设当练习似乎也有平衡态作相似变换注意：在类似于量子力学的框架下，定义内积则假设为实函数，则∴为正定算符设假设的基态没简并>0,>0∴但是，如果为复函数，失去正定性，可以小于零，情形变得不确定。第五节动力学临界现象和临界慢化设描述的平衡态处于二级相变点（临界点）附近Langevin方程描写的动力学行为是一种动力学临界现象。当然，也存在没有平衡态的动力学临界系统，即动力学二级相变系统。更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等。动力学临界现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式。例如，定义假设足够大，二、三十年前人们便发现，为相变温度:称之为动力学临界指数，：任意标度因子动力学标度形式代表一种自相似性，这一自相似性具有普遍意义。例：——把的单位“恰当”地改一下，后果只是把M的单位改一下（相似性）令——除了一个相似因子只与有关，平衡态的空间关联长度，所以所以，应当代表一空间标度。事实上，它是t时刻的空间关联长度。——空间单位的改变，仅导致M的单位的改变！动力学标度形式可用重整化群方法导出,而且可以推广重有限尺度体系。足够大，足够小。但是，重整化群方法的结果只能与实验或准确结果定性比较。当然，我们可以数值求解Langevin方程，但运算量太大，特别是当时，由引起的误差难以控制。一般相信，MonteCarlo动力学和Langevin动力学处于同一普适类。MC模拟可以给出较好的定量结果。但是，MC模拟仍受临界慢化的困扰。时间关联函数，足够大包括随机力平均和对平均，称之为关联时间*，当，标度形式的物理基础*，当，临界慢化∴无法获得独立的自旋构形，这不仅仅困扰动力学MC模型，而且困扰平衡态M...