秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。（3）数学精英解“数列”题1．（广东卷第5题）已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=（A）9（B）8（C）7（D）6解答：B此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8.2．（天津卷第8题）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8解答：由题意得，an=（n+8）d,a,∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.答案为B.3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足N*),则称{an}为“等方比数列”.甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列.则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解答：，所以此数列{an}并不是等比数列；若{an}是等比数列，则，数列{an}是等方比数列.答案为B.【说明】1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列.考场精彩(3)4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是A.2B.3C.4D.5解答：运用中值定理，.可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，为正整数.答案为D.5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63B．45C．36D．27解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，则∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.解析2：由等差数列的性质知：S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18.S∴〞3=S3+2d′=9+2×18=45.答案为B.6．（福建卷第2题）数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．解答：由，得，答案为B.7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4注意到q≠0,得公比q=解法二：由题设得化简得a2=3a3，故公比q=解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列中，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．解答：（Ⅰ）解法1：由题设：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．解法2：设整理得由已知比较系数得.∴.即数列∴，（n∈N+）（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．（ⅰ）当时，因，，所以，结论成立．（ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．当时，，又，所以．也就是说，当时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．解法2：由于是令有∵∴数列是以首项为1+，公比为（3+）2的等比数列.∴,又,∴要证明，只需证明而综上所得