第11讲利用导数研究函数的最值【学习目标】会求闭区间上函数的最大值、最小值【备考指南】题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.【考点总结】函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【考点解析】【考点】一、利用导数研究函数的最值例1、已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．【解】(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．(2)满足题设条件的a，b存在．(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.(ⅲ)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0<a<3矛盾．若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．[提醒]求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【变式】已知函数f(x)＝＋klnx，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．解：因为f(x)＝＋klnx，f′(x)＝＋＝.(1)若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．所以f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.(2)若k≠0，f′(x)＝＝.①若k<0，则在上恒有<0，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.②若k>0，由k<，得>e，则x－<0，所以<0，所以f(x)在上单调递减．所以f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.综上，k<时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.【考点】二、函数极值与最值的综合问题例1、已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．【解】(1)f′(x)＝＝.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a>0.所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者...