第8讲指数与指数函数1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*性质当n是时,a的n次方根为x=n√a当n是时,正数a的n次方根为x=±n√a,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作n√0=0根式概念式子n√a叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,n√an=当n为偶数时,n√an=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:amn=n√am(a>0,m,n∈N*,且n>1).②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1n√am(a>0,m,n∈N*,且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①aras=(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像与性质y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图像定义域R值域性质过定点当x>0时,;当x<0时,当x>0时,;当x<0时,在R上是在R上是常用结论1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.题组一常识题1.[教材改编]若x+x-1=3,则x2-x-2=.2.[教材改编]已知2x-1<23-x,则x的取值范围是.3.[教材改编]函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点.4.[教材改编]下列所给函数中值域为(0,+∞)的是.①y=-5x;②y=(13)1-x;③y=❑√(12)x-1;④y=❑√1-2x.题组二常错题◆索引:忽略n的范围导致式子n√an(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.5.计算3√(1+❑√2)3+4√(1-❑√2)4=.6.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=.7.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=.8.函数y=21x-1的值域为.探究点一指数幂的化简与求值例1(1)计算:823-(-78)0+4√(3-π)4+[(-2)6]12=.(2)已知x12+x-12=❑√5,则x2+x-2-6x+x-1-5的值为.[总结反思]指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.变式题(1)计算:2x-13(12x13+x43)=()A.3B.2C.2+xD.1+2x(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则❑√a-❑√b❑√a+❑√b=.探究点二指数函数的图像及应用例2(1)函数y=xax|x|(a>1)的图像大致是()ABCD图2-8-1(2)[2018·辽阳一模]设函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)[总结反思](1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),(-1,1a).(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.变式题(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=ax+b的图像大致是()图2-8-2ABCD图2-8-3(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是.图2-8-4探究点三利用指数函数的性质解决有关问题微点1比较指数式的大小例3(1)[2018·凯里一中二模]已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b(2)[2018·杭州一中模拟]已知0<a<b<1,则()A.(1-a)1b>(1-a)bB.(1-a)b>(1-a)b2C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b[总结反思]指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.微点2解简单的指数方程或不等式例4(1)已知函数f(x)=a+14x+1的图像过点1,-310,若-16≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是.(2)方程4x+|1-2x|=11的解为.[总结反思](1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).(3)有些含参指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.微点3指数函数性质的综合问题例5(1)[2018·遵义联考]函数f(x)=a+bex+1(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点(ln3,12),则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)已知f(x...