草船借箭的启示--逆向思维

“草船借箭”的启示——谈谈数学解题中的逆向思维江苏徐州市中国矿大附中罗永奇苗福华古典名著《三国演义》中有这样一个脍炙人口的历史故事.三国时代吴国的周瑜限令诸葛亮十天内造出20万支箭,根据当时的情况,这个任务是不可能完成的,嫉贤妒能的周瑜是想找借口杀掉诸葛亮.聪明的诸葛亮接受任务后,分析了情况,得出了从造箭上想办法是完不成任务的.于是,他从“不造”上想办法,利用一个大雾锁江的凌晨,用轻舟载草人从水路佯攻曹操大营,曹不敢出兵反击,而只是令弓箭手射箭,这样诸葛亮就完成了任务.从这个历史故事中,我们可以得到启示:在用直接法很难或无法解决的数学问题时,如果我们从相反的方面考虑,往往能获得意外的成功,这就是数学解题中的逆向思维.逆向思维用于解题,常常具有独创性.下面举例说明.分析比较分数的大小,一般是化成同分母后比较分子的大小.但本题的最小公分母是29×11×89×15=425865,因数字太大,通分有困难.逆过来考虑把分子变成一样,然后比较分母的大小,则问题变得简单.例2若三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,至少有一个方程有实数解,试求实数a的取值范围.分析由于三个方程至少有一个方程有实数解的情况较为复杂.因此,直接求解困难.但三个方程均无实数解的a的取值容易求出,故可以先求三个方程都无实数解的a的值,进而推出三个方程至少有一个方程有实数解时,a的取值范围.解如果三个方程都没有实数解,则由判别式知-1.例3从n个机场各起飞一架飞机,都飞往最近的个机场.证明:在任何一个机场降落的飞机都不超过6架.分析若直接去证明这个问题很困难.如果我们能证明原命题结论的反面都是假的,从而肯定原命题是真的.证明如图,假设机场O降落的飞机超过6架,它们来自m(m≥7,m∈N)个机场A1、A2、A3……Am-1、Am.由于∠A1OA2+∠A2OA360°,不妨设∠A1OA2<60°,并设OA1≥OA2(设OA2≥OA1亦可),连结A1A2,则∠A2≥∠A1,所以∠A2>60°,即∠A2>∠A1OA2,所以OA1>A1A2.于是机场A1的飞机应飞往机场A2,这与上面假设“机场A1的飞机飞往机场O”矛盾,故假设不成立,即原命题正确.

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