浅谈最小二乘原理的应用及其matlab实现蔡怡(数汁学院数学与应用数学10数本一班0907005，芜湖安徽)摘要：本文分析了线性方程组解的递推算法并由此推导出增加试验点的线性拟合的计算公式;探讨了给定基函数下曲线拟合的唯一性;介绍了离散状态正交多项式意义下的曲线拟合。并以实例的形式说明了如何利用natlab程序求解两种类型的拟合问题。关键词：最小二乘法；线性拟合；曲线拟合中图分类号：文献标识码.•A文章编号：TalkingabouttheApplicationanditsAchievementbyMATLABofLeastSquareMethodCaiYi(0907005Mathematicclassof2010MathematicsAHNU，wuhuAnhuiChina)Abstract:Inthispaper，therecursionmethodoflinearequationsandlinearleastsquarefittingofincreasingpointsareanalyzed;Theuniquenessofcurvefittingunderbasisfunctionsisdiscussed;ThecurvefittingbasedonorthogonalpolynomialindiscretestateisintroducedanditisillustratedhowtouseMATLABtosolvethetwotypesoffittingproblemintheformofexamples.Keywords:leastsquaremethod；linearleastsquarefitting；curvefitting对现实屯活巾的许多数裾进行理论分析，选择恰当的函数进行拟合十分关键，蛣常用的拟合就是让实数裾与估计数据之间的距离的T•方和最小，这就是最小二乘法。本文分析了增加实验数据时线性拟合的计算公式，探讨了给定基函数时曲线拟合的唯一性并介绍了离散状态正交多项式意义下的曲线拟合，M时利用MATLAB进行求解。1.线性方程组的最小二乘解1.1绪论对于线性方程组的解的存在和结构问题的解决方法大致分为两种：一种是对以求出精确解的情况。Grammer法则给出了方程组奋唯一解的充要条件即系数矩阵A可逆，然后可根据gauss消元法，主元素法，三角分解法进行运算。似是此方法的计算量比较大，当方程组阶数比较高或矩阵式大而稀疏时，这种方法就不适用。另一种是求出近似解的情况。常用迭代法进行运算，即给出一个初值，然盾进行多次迭代得到一个近似解。比较常用的方法柯jacobi迭代，gauss-seidel迭代，超松弛迭代等。迭代法解线性方程组多用于系数矩阵比较稀疏的情况。对于不同的方程组，需要选择不同的迭代方法。1.2线性方程组的最小二乘解设有线性方程组AX=B,其矩阵形式^1.••♦…“1"••••••Z\參參參=••♦•"CImnmj..................(1.1)定义1.2.1对于方程组AX=B,方程式的个数m大于参数的个数H，这样的方程组称为矛盾方程组.对于乂盾方程组，不可能求其精确解，只能试閔寻找它的近似解。定义1.2.2对于矛后方程组，任何一组……％,,都可能使对于使得n最小的；(p……称为矛盾方程组的最小二乘解.从而(1.1)式的最小二乘解可以表示为X(m)=(ATAT(m)B(tn)定理1.2.1l2j方程组AX=B的最小记tz(m+l)=(人+1J，....，“/H+l，《)二乘解即为方程组=ATB的解.详细证明过程见参考文献[2].定义1.2.3矛盾方程组AX=B的最小二乘解对应的方程组ArAX=称为A(m)、6/(/??+1)则冇对应矛后方程组的正规方程组.将正规方程组写成矩阵形式为IXZ=1參參參mIX%/=/1.3求线性方程组最小二乘解的递推运算当方程组(1.1)的方程个数增加一个，得到新的方程组................(1.2)可以按照上述的方法求得(1.2)的蛣小二乘解，但是求一个nxn阶的逆矩阵的计算g很大。下衡考虑利用m个方程的解，求出有m+1个方程的方程组的最小二乘解。为方便起见，引入指标m,A(m),B(m)，分别表示有m个方程的方积组的相关矩阵，则(1.1)可以表示为A(Z?7)X(m)=B(m)(1.2)可以表示为A(m+l)X(m+l)=B(m+l)得到A1(m+l)A(m+l)=Ar(m)A(m)+(3r(m+l)^(m+l)若记G(m)=A1(777)A(m)则上式可记为G(m4-1)=G(m)+r/7(m+1)以("2+1)对t式两边同时取逆矩阵得到G一1(m+1)=(G(m)+(m+l)“(m+1))一1引理111设矩阵A,C,A+SCD均为非奇矩阵，则有(A+BCD)-'=A-1-A'1^(C-'+DA-'B)-1DA'1得到:(A'1-A-lB(C~'+DA~]By'PA_1)C(A+BCD)=E+A~}BCD-A~x+DA^B)'1D-A_1B(C_1+DA~lB)~lDA1BCD=E^A~XBCD-+DA-}BY\E+DAXBC)D=E^-A~lBCDA-'S(C_1+DA-]By](C-^DA-'B)CD=E+A~xBCD-BCD=E同理可以证明(A+BCD)'1右乘于(A+BCD)也得到单位阵。综上所述，上述等式成立由上述引理得到G_l(m+l)=G_1(m)-G-1(/77)«,(/»+1...