6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.会用坐标表示平面向量的数量积.2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.【自主学习】知识点1面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点2平面向量长度(模)的坐标表示(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知识点3两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.知识点3向量的夹角公式---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.【合作探究】探究一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2) b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案(－16，－8)(－8，－12)解析 a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)． b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---探究二向量的模的问题【例2】向量AB与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|AB|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为()A．(－7,8)B．(9，－4)C．(－5,10)D．(7，－6)[解析](1) 向量AB与向量a＝(－3,4)的夹角为π，∴设AB＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．由此可得|AB|＝＝10，解之得k＝－2(k＝2舍去)．∴AB＝(6，－8)，设B(m，n)，得AB＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，则有解得m＝7，n＝－6，∴B(7，－6)，故选D.归纳总结：(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．【练习2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．解设点D的坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)， D在直线BC上，即BD与BC共线，---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---∴存在实数λ，使BD＝λBC，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又 AD⊥BC，∴AD·BC＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得即D点坐标为(1,1)，AD＝(－1,2)．∴|AD|＝＝，即|AD|＝，D(1,1)．探究三向量的夹角与垂直问题【例3-1】已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(－2，)B．(，＋∞)C．(－2，)∪(，＋∞)D．(－∞，)[答案]A[解析] a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ(∈－∞，－2)(∪－2，)．故选A.---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---【例3-2】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.[答案]7[解析]因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.【例3-3】已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案B解析 |a|＝，|b|＝，a·b＝5.∴cos〈a，b〉＝＝＝.又 a，b的夹角范围为[0，π]．∴a与b的夹角为.归纳总结：根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，...